Considere
. Para calcular
, Sócrates definiu
e
. Concluiu que
. Calculou
e
. Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter
. Aristóteles, que também queria calcular
, escreveu:
e, portanto,
para todo
. Quem acertou? Quem errou e por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos calcular a derivada de uma função específica no ponto
. O enunciado fala sobre
para
positivo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia corretamente e também saber simplificar expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Para
positivo (
), a raiz quadrada de
é simplesmente
, ou seja:
Isso significa que, na verdade,
é uma função linear, e a derivada de uma função linear
é bem simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é 1:
Portanto, para qualquer
, incluindo
:
Passo 4
Por outro lado, Sócrates tentou calcular a derivada usando a Regra da Cadeia. Ele definiu
e
, assim
. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aplicando na regra da cadeia:
Portanto, mesmo usando a regra da cadeia corretamente, chegamos a
.
Passo 5
No entanto, segundo o enunciado, Sócrates calculou
e
, então:
Esse resultado está incorreto porque Sócrates avaliou
diretamente, ao invés de calcular
. A derivada
deve ser avaliada em
, não em 2.
Resposta
Aristóteles acertou ao concluir que
. Sócrates errou porque avaliou a derivada de
no ponto errado, ao invés de calcular
. Portanto, apenas Aristóteles obteve o resultado correto.
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções usando a Regra da Cadeia
Derive cada função dos exercícios a seguir
Calcule a integral indefinida.
$(b)
$(b)