Considere h(x) = raiz(x^2), x em R^+. Para calcular h'(2), Sócrates definiu f(x) = raiz(x) e g(x) = x^2. Concluiu que h = f(g). Calculou f'(2) = 1/(2 * raiz(2)) e g'(2) = 4. Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter h'(2) = 4 * (1 / (2 * raiz(2))). Aristóteles, que também queria calcular h'(2), escreveu: h(x) = raiz(x^2) = x e, portanto, h'(x) = 1 para todo x. Quem acertou? Quem errou e por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos calcular a derivada de uma função específica no ponto . O enunciado fala sobre para positivo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia corretamente e também saber simplificar expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Para positivo ( ), a raiz quadrada de é simplesmente , ou seja:
Isso significa que, na verdade, é uma função linear, e a derivada de uma função linear é bem simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Sabemos que a derivada de em relação a é 1:
Portanto, para qualquer , incluindo :

Passo 4

Por outro lado, Sócrates tentou calcular a derivada usando a Regra da Cadeia. Ele definiu e , assim . A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aplicando na regra da cadeia:
Portanto, mesmo usando a regra da cadeia corretamente, chegamos a .

Passo 5

No entanto, segundo o enunciado, Sócrates calculou e , então:
Esse resultado está incorreto porque Sócrates avaliou diretamente, ao invés de calcular . A derivada deve ser avaliada em , não em 2.

Resposta

Aristóteles acertou ao concluir que . Sócrates errou porque avaliou a derivada de no ponto errado, ao invés de calcular . Portanto, apenas Aristóteles obteve o resultado correto.

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