Considere . Para calcular , Sócrates definiu e . Concluiu que . Calculou e . Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter . Aristóteles, que também queria calcular , escreveu: e, portanto, para todo . Quem acertou? Quem errou e por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos calcular a derivada de uma função específica no ponto . O enunciado fala sobre para positivo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia corretamente e também saber simplificar expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Para positivo ( ), a raiz quadrada de é simplesmente , ou seja:
Isso significa que, na verdade, é uma função linear, e a derivada de uma função linear é bem simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Sabemos que a derivada de em relação a é 1:
Portanto, para qualquer , incluindo :

Passo 4

Por outro lado, Sócrates tentou calcular a derivada usando a Regra da Cadeia. Ele definiu e , assim . A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aplicando na regra da cadeia:
Portanto, mesmo usando a regra da cadeia corretamente, chegamos a .

Passo 5

No entanto, segundo o enunciado, Sócrates calculou e , então:
Esse resultado está incorreto porque Sócrates avaliou diretamente, ao invés de calcular . A derivada deve ser avaliada em , não em 2.

Resposta

Aristóteles acertou ao concluir que . Sócrates errou porque avaliou a derivada de no ponto errado, ao invés de calcular . Portanto, apenas Aristóteles obteve o resultado correto.

Exercícios relacionados

e . Que informação(ções) você necessita sobre a função para calcular ?
Derive as seguintes funções usando a Regra da Cadeia
Derive cada função dos exercícios a seguir
Calcule a integral indefinida.
$(b)