Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . A ideia aqui é encontrar uma função que, quando substituída, torne a integral mais fácil de resolver. Observamos que o numerador parece estar relacionado à derivada do que está dentro da raiz.

Passo 3

Vamos definir uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Ou seja:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original. A integral fica:
Isso porque e .

Passo 5

Essa nova integral é bem mais simples. A gente sabe que:
Integrando isso, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta pela expressão original:

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule.
$(a)
Calcule a integral indefinida.
$(e)
Calcule a integral indefinida.
$(f)
Calcule.
$(a)