Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C=0 ). integral ln (x^2+2 x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral indefinida de uma função que envolve o logaritmo natural, mais precisamente:
integral ln(x^2 + 2x + 2) , dx
Para resolver isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Além disso, vamos precisar lembrar de como completar o quadrado e lidar com integrais que resultam em funções arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
u = ln(x^2 + 2x + 2) e dv = dx
Então, precisamos calcular du = ddx[ln(x^2 + 2x + 2)] , dx = 2x + 2x^2 + 2x + 2 , dx e v = integral dv = integral dx = x :
integral ln(x^2 + 2x + 2) , dx = x ln(x^2 + 2x + 2) - integral x cdot 2x + 2x^2 + 2x + 2 , dx
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 3

Vamos simplificar a integral que restou:
integral x(2x + 2)x^2 + 2x + 2 , dx
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
x(2x + 2) = 2x^2 + 2x
Então, a integral fica:
integral 2x^2 + 2xx^2 + 2x + 2 , dx
Perceba que o grau do polinômio no numerador é igual ao grau do denominador. Isso significa que podemos fazer uma divisão polinomial ou, mais facilmente, reescrever o numerador de forma a facilitar a integração.

Passo 4

Vamos reescrever o numerador 2x^2 + 2x = 2(x^2 + 2x + 2) - 2x - 4 de uma forma que se relacione com o denominador integral 2(x^2 + 2x + 2) - 2x - 4x^2 + 2x + 2 , dx = integral [2 - 2x + 4x^2 + 2x + 2] , dx :
2 integral dx - integral 2x + 4x^2 + 2x + 2 , dx
Então, a integral fica:
Isso separa a integral em duas partes mais simples:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
2 integral dx = 2x
  1. Segunda integral:
integral 2x + 4x^2 + 2x + 2 , dx
Aqui, vamos fazer uma substituição para simplificar. Note que o denominador pode ser completado ao quadrado:
x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1
Agora, observe o numerador 2x + 4 = 2(x + 2) = 2(x + 1) + 2 . Podemos reescrevê-lo como:
2x + 4x^2 + 2x + 2 = 2(x + 1) + 2(x + 1)^2 + 1 = 2(x + 1)(x + 1)^2 + 1 + 2(x + 1)^2 + 1
Então,
integral 2(x + 1)(x + 1)^2 + 1 , dx + 2 integral 1(x + 1)^2 + 1 , dx
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Primeira parte:
integral 2(x + 1)(x + 1)^2 + 1 , dx
Aqui, fazemos a substituição integral dtt = ln|t| + C = ln((x + 1)^2 + 1) + C , então 2 integral 1(x + 1)^2 + 1 , dx . Isso simplifica a integral para:
2 cdot arctan(x + 1) + C
  1. Segunda parte:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes resolvidas, temos:
integral 2x + 4x^2 + 2x + 2 , dx = 2x - ln(x^2 + 2x + 2) - 2 arctan(x + 1) + C
Lembrando da nossa primeira aplicação da integração por partes:
integral ln(x^2 + 2x + 2) , dx = x ln(x^2 + 2x + 2) - (2x - ln(x^2 + 2x + 2) - 2 arctan(x + 1)) + C
Simplificando isso, temos:
integral ln(x^2 + 2x + 2) , dx = (x + 1) ln(x^2 + 2x + 2) - 2x + 2 arctan(x + 1) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral ln(x^2 + 2x + 2) , dx = (x + 1) ln(x^2 + 2x + 2) - 2x + 2 arctan(x + 1) + C
Como solicitado, tomando (x + 1) ln(x^2 + 2x + 2) - 2x + 2 arctan(x + 1) , a primitiva é:

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