Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral indefinida de uma função que envolve o logaritmo natural, mais precisamente:
Para resolver isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Além disso, vamos precisar lembrar de como completar o quadrado e lidar com integrais que resultam em funções arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
Aqui, vamos escolher:
Então, precisamos calcular e :
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 3

Vamos simplificar a integral que restou:
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
Então, a integral fica:
Perceba que o grau do polinômio no numerador é igual ao grau do denominador. Isso significa que podemos fazer uma divisão polinomial ou, mais facilmente, reescrever o numerador de forma a facilitar a integração.

Passo 4

Vamos reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador :
Então, a integral fica:
Isso separa a integral em duas partes mais simples:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Aqui, vamos fazer uma substituição para simplificar. Note que o denominador pode ser completado ao quadrado:
Agora, observe o numerador . Podemos reescrevê-lo como:
Então,
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Primeira parte:
Aqui, fazemos a substituição , então . Isso simplifica a integral para:
  1. Segunda parte:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes resolvidas, temos:
Lembrando da nossa primeira aplicação da integração por partes:
Simplificando isso, temos:

Resposta

A integral indefinida é:
Como solicitado, tomando , a primitiva é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Calcule a integral.
Como você calcularia manualmente? (Não faça a integração.)
Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral.