Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral. integral cossec^5 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral cossec^5 t , dt. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cossec , t é o mesmo que csc t. Então, a integral fica: integral csc^5 t , dt.

Passo 3

Como a potência do cosseno-secante é ímpar (5), vamos separar um fator de csc^3 t e deixar csc^2 t:
integral csc^5 t , dt = integral csc^3 t cdot csc^2 t , dt

Passo 4

Sabemos que csc^2 t = 1 + cot^2 t, então substituindo na integral:
integral csc^3 t cdot (1 + cot^2 t) , dt

Passo 5

Agora, vamos usar uma substituição. Vamos definir u = cot t. A derivada de u em relação a t é:
du = -csc^2 t , dt Rightarrow -du = csc^2 t , dt

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral csc^3 t cdot (1 + cot^2 t) , dt = integral csc t cdot (1 + u^2) cdot csc^2 t , dt
Substituindo csc^2 t , dt por -du:
- integral csc t cdot (1 + u^2) , du
Agora, percebemos que ainda precisamos expressar csc t em termos de u. Sabemos que csc t = raiz1 + cot^2 t = raiz1 + u^2. Porém, essa expressão complica a integral, então vamos utilizar uma fórmula de redução para integrais de potências ímpares de csc t.
A fórmula de redução é:
integral csc^n t , dt = -csc^n-2 t cdot cot tn-1 + n-2n-1 integral csc^n-2 t , dt
Aplicando para n = 5:
integral csc^5 t , dt = -csc^3 t cdot cot t4 + 34 integral csc^3 t , dt
Para resolver integral csc^3 t , dt, aplicamos a mesma fórmula com n = 3:
integral csc^3 t , dt = -csc t cdot cot t2 + 12 ln|csc t - cot t| + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral csc^5 t , dt = -csc^3 t cdot cot t4 + 34 ( -csc t cdot cot t2 + 12 ln|csc t - cot t| ) + C
Simplificando os termos:
integral csc^5 t , dt = -csc^3 t cdot cot t4 - 3 csc t cdot cot t8 + 38 ln|csc t - cot t| + C

Resposta

Portanto, a integral de cossec^5 t em relação a t é:
integral cossec^5 t , dt = -csc^3 t cdot cot t4 - 3 csc t cdot cot t8 + 38 ln|csc t - cot t| + C
Onde C é a constante de integração.

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