Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Então, a integral fica: .

Passo 3

Como a potência do cosseno-secante é ímpar (5), vamos separar um fator de e deixar :

Passo 4

Sabemos que , então substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos usar uma substituição. Vamos definir . A derivada de em relação a é:

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de :
Substituindo por :
Agora, percebemos que ainda precisamos expressar em termos de . Sabemos que . Porém, essa expressão complica a integral, então vamos utilizar uma fórmula de redução para integrais de potências ímpares de .
A fórmula de redução é:
Aplicando para :
Para resolver , aplicamos a mesma fórmula com :
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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