Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve o logaritmo natural (
) e uma raiz quadrada de
(
). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa função será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica quando derivada. Aqui, vamos deixar:
(A integral de
é
, e a integral de
é
)
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a segunda integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Calculando em
:
Agora, calculando o limite quando
se aproxima de 0:
Sabemos que
tende a 0 quando
se aproxima de 0, então:
Resposta
Finalmente, a integral vale:
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Calcule a integral.
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Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome
).
Como você calcularia
manualmente? (Não faça a integração.)