Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve o logaritmo natural ( ) e uma raiz quadrada de ( ). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada. Aqui, vamos deixar:
(A integral de é , e a integral de é )

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a segunda integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Calculando em :
Agora, calculando o limite quando se aproxima de 0:
Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de 0, então:

Resposta

Finalmente, a integral vale:

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Calcule a integral.
Calcule a integral.
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).
Como você calcularia manualmente? (Não faça a integração.)