Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral0^4 ln xraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve o logaritmo natural ( ) e uma raiz quadrada de ( ). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa função será u = ln x Rightarrow du = 1x , dx e qual será dv = 1raizx , dx Rightarrow v = 2raizx . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada. Aqui, vamos deixar:
(A integral de é , e a integral de é )

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln xraizx , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot 2raizx - integral 2raizx cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
= 2raizx ln x - 2 integral raizxx , dx
= 2raizx ln x - 2 integral x^-1/2 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral x^-1/2 , dx = integral 1raizx , dx = 2raizx + C
Substituindo de volta:
= 2raizx ln x - 2 cdot 2raizx + C
= 2raizx ln x - 4raizx + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
integral0^4 ln xraizx , dx = [2raizx ln x - 4raizx]0^4
Calculando em 2raiz4 ln 4 - 4raiz4 = 2 cdot 2 cdot ln 4 - 4 cdot 2 = 4ln 4 - 8 :
limx to 0^+ (2raizx ln x - 4raizx)
Agora, calculando o limite quando 0 - 0 = 0 se aproxima de 0:
Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de 0, então:

Resposta

Finalmente, a integral vale:
4ln 4 - 8

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