Como você calcularia
manualmente? (Não faça a integração.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
, ou seja,
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso manualmente, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a ideia é escolher partes da nossa função para serem
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Então, podemos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, percebemos que a nova integral
tem uma estrutura similar à original, mas com o expoente de
diminuído em 1. Isso significa que precisamos aplicar a integração por partes novamente, repetindo o processo até reduzir o expoente de
a zero.
Isso resulta em uma série de integrações por partes, cada uma reduzindo o expoente de
, até que a integral final seja simples de resolver.
Resposta
Para calcular
manualmente, devemos aplicar a técnica de integração por partes repetidamente, reduzindo o expoente de
em cada etapa, até simplificar a integral completamente.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome
).
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral.
É possível encontrar um número
tal que
seja convergente?