Como você calcularia manualmente? (Não faça a integração.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso manualmente, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a ideia é escolher partes da nossa função para serem e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Então, podemos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, percebemos que a nova integral tem uma estrutura similar à original, mas com o expoente de diminuído em 1. Isso significa que precisamos aplicar a integração por partes novamente, repetindo o processo até reduzir o expoente de a zero.
Isso resulta em uma série de integrações por partes, cada uma reduzindo o expoente de , até que a integral final seja simples de resolver.

Resposta

Para calcular manualmente, devemos aplicar a técnica de integração por partes repetidamente, reduzindo o expoente de em cada etapa, até simplificar a integral completamente.

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral.
É possível encontrar um número tal que seja convergente?