Como você calcularia integral x^5 e^-2 x d x manualmente? (Não faça a integração.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso manualmente, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher partes da nossa função para serem e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos identificar u = x^5 Rightarrow du = 5x^4 , dx e dv = e^-2x , dx Rightarrow v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Então, podemos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^5 e^-2x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= x^5 (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 5x^4 , dx
Simplificando:
= -12 x^5 e^-2x + 52 integral x^4 e^-2x , dx

Passo 5

Agora, percebemos que a nova integral tem uma estrutura similar à original, mas com o expoente de diminuído em 1. Isso significa que precisamos aplicar a integração por partes novamente, repetindo o processo até reduzir o expoente de a zero.
Isso resulta em uma série de integrações por partes, cada uma reduzindo o expoente de , até que a integral final seja simples de resolver.

Resposta

Para calcular manualmente, devemos aplicar a técnica de integração por partes repetidamente, reduzindo o expoente de em cada etapa, até simplificar a integral completamente.

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