Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é . Esse exercício tá no ramo do Cálculo Integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções racionais com raízes quadradas. A gente vai precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral e depois calcular o resultado. No fim, também vamos desenhar o gráfico da função original e da sua primitiva para conferir se tá tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Observamos que o numerador é e o denominador envolve . Para simplificar, podemos reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador.

Passo 3

Vamos notar que . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada uma das integrais separadamente. Para a primeira parte:
E a segunda parte já está em uma forma conhecida:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral:
  1. Para , usamos uma substituição trigonométrica ou uma substituição hiperbolica, mas a forma mais direta é usar a seguinte fórmula:
No nosso caso, , então:
  1. Para , a integral conhecida é:

Passo 6

Substituindo as integrais que calculamos de volta na expressão original:
Simplificando os termos logarítmicos:

Passo 7

Portanto, a primitiva da função é:

Passo 8

Agora, para verificar se a resposta está correta, podemos derivar a primitiva que encontramos e conferir se voltamos à função original . Além disso, podemos plotar os gráficos da função e da sua primitiva para visualizar se a inclinação da primitiva corresponde à função original.

Resposta

A integral indefinida é:

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