Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C=0 ). integral x^2raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é . Esse exercício tá no ramo do Cálculo Integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções racionais com raízes quadradas. A gente vai precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral e depois calcular o resultado. No fim, também vamos desenhar o gráfico da função original e da sua primitiva para conferir se tá tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Observamos que o numerador é e o denominador envolve . Para simplificar, podemos reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador.

Passo 3

Vamos notar que integral x^2raizx^2+1 , dx = integral (x^2+1) - 1raizx^2+1 , dx = integral x^2+1raizx^2+1 , dx - integral 1raizx^2+1 , dx . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada uma das integrais separadamente. Para a primeira parte:
integral x^2+1raizx^2+1 , dx = integral raizx^2+1 , dx
E a segunda parte já está em uma forma conhecida:
integral 1raizx^2+1 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral:
  1. Para integral raizx^2 + a^2 , dx = x2 raizx^2 + a^2 + a^22 ln | x + raizx^2 + a^2 | + C , usamos uma substituição trigonométrica ou uma substituição hiperbolica, mas a forma mais direta é usar a seguinte fórmula:
integral raizx^2+1 , dx = x2 raizx^2+1 + 12 ln | x + raizx^2+1 | + C
No nosso caso, integral 1raizx^2+1 , dx = ln | x + raizx^2+1 | + C , então:
  1. Para , a integral conhecida é:

Passo 6

Substituindo as integrais que calculamos de volta na expressão original:
integral x^2raizx^2+1 , dx = ( x2 raizx^2+1 + 12 ln | x + raizx^2+1 | ) - ln | x + raizx^2+1 | + C
Simplificando os termos logarítmicos:
x2 raizx^2+1 + 12 ln | x + raizx^2+1 | - ln | x + raizx^2+1 | + C = x2 raizx^2+1 - 12 ln | x + raizx^2+1 | + C

Passo 7

Portanto, a primitiva da função x2 raizx^2+1 - 12 ln ( x + raizx^2+1 ) + C é:

Passo 8

Agora, para verificar se a resposta está correta, podemos derivar a primitiva que encontramos e conferir se voltamos à função original . Além disso, podemos plotar os gráficos da função e da sua primitiva para visualizar se a inclinação da primitiva corresponde à função original.

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2raizx^2+1 , dx = x2 raizx^2+1 - 12 ln ( x + raizx^2+1 ) + C

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