Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral. integral cotg xraiz1+2 sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve funções trigonométricas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja . Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais manejável.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 2 cos(x) em relação a dx = du2 cos(x) :
Isso significa que . Vamos rearranjar para encontrar :

Passo 4

Vamos substituir integral cot(x)raizu cdot du2 cos(x) na integral original:
integral cos(x)sin(x)raizu cdot du2 cos(x) = integral 12 sin(x) raizu , du
Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Lembrando que sin(x) = u - 12 , podemos resolver para integral 12 cdot u - 12 cdot raizu , du = integral 1(u - 1) raizu , du :
Substituindo isso na integral:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa integral. Podemos reescrever como e fazer outra substituição. Seja , então e .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral 1t^2 - 1 cdot 2t , dt = 2 integral tt^2 - 1 , dt
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que é uma forma logarítmica.

Passo 8

A integral ln|t - 1t + 1| + C resulta em . Multiplicando pelo 2, temos:

Passo 9

Voltando às nossas substituições anteriores:
t = raizu = raiz1 + 2 sin(x)
Então, a resposta final fica:
ln|raiz1 + 2 sin(x) - 1raiz1 + 2 sin(x) + 1| + C

Resposta

ln(raiz1 + 2 sin(x) - 1raiz1 + 2 sin(x) + 1) + C

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