Calcule a integral indefinida:
integral (x^2+1)x^4-7 x^3+18 x^2-20 x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O que temos aqui é uma integral do tipo . Estamos lidando com integração algébrica, e para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador: . Para isso, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teste das raízes potenciais.

Passo 3

Testando possíveis raízes, descobrimos que é uma raiz, pois substituindo na equação:
.

Passo 4

Então, podemos dividir o polinômio por usando divisão polinomial ou sintética. Após a divisão, obtemos:
.

Passo 5

Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico . Testando novamente, vemos que é uma raiz:
.

Passo 6

Dividindo por , encontramos:
.

Passo 7

O polinômio quadrático pode ser fatorado como . Portanto, o denominador completo fica:
.

Passo 8

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração x^2+1(x - 1)(x - 2)^3 = Ax - 1 + Bx - 2 + C(x - 2)^2 + D(x - 2)^3 em frações parciais:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por x^2+1 = A(x - 2)^3 + B(x - 1)(x - 2)^2 + C(x - 1)(x - 2) + D(x - 1) , obtemos:
Agora, substituímos valores de para encontrar os coeficientes .

Passo 10

Primeiro, coloque 1^2+1 = A(1 - 2)^3 Rightarrow 2 = A(-1)^3 Rightarrow A = -2 :
2^2+1 = D(2 - 1) Rightarrow 5 = D(1) Rightarrow D = 5
Agora, coloque :

Passo 11

Para encontrar x^2 + 1 = -2(x - 2)^3 + B(x - 1)(x - 2)^2 + C(x - 1)(x - 2) + 5(x - 1) e , podemos expandir a equação e comparar os coeficientes dos termos correspondentes:
Após simplificar e comparar os coeficientes, encontramos:
e .

Passo 12

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
x^2+1(x - 1)(x - 2)^3 = -2x - 1 + 1x - 2 + 0(x - 2)^2 + 5(x - 2)^3
Simplificando:
x^2+1(x - 1)(x - 2)^3 = -2x - 1 + 1x - 2 + 5(x - 2)^3

Passo 13

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -2x - 1 dx + integral 1x - 2 dx + integral 5(x - 2)^3 dx
As integrais são:
-2 ln|x - 1| + ln|x - 2| - 52(x - 2)^2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
-2 ln|x - 1| + ln|x - 2| - 52(x - 2)^2 + C

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