Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O que temos aqui é uma integral do tipo
. Estamos lidando com integração algébrica, e para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
. Para isso, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teste das raízes potenciais.
Passo 3
Testando possíveis raízes, descobrimos que
é uma raiz, pois substituindo na equação:
.
Passo 4
Então, podemos dividir o polinômio por
usando divisão polinomial ou sintética. Após a divisão, obtemos:
.
Passo 5
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico
. Testando novamente, vemos que
é uma raiz:
.
Passo 6
Dividindo
por
, encontramos:
.
Passo 7
O polinômio quadrático
pode ser fatorado como
. Portanto, o denominador completo fica:
.
Passo 8
Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração
em frações parciais:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Agora, substituímos valores de
para encontrar os coeficientes
.
Passo 10
Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Passo 11
Para encontrar
e
, podemos expandir a equação e comparar os coeficientes dos termos correspondentes:
Após simplificar e comparar os coeficientes, encontramos:
e
.
Passo 12
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 13
Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais são:
Resposta
A integral indefinida é:
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