Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O que temos aqui é uma integral do tipo . Estamos lidando com integração algébrica, e para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador: . Para isso, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teste das raízes potenciais.

Passo 3

Testando possíveis raízes, descobrimos que é uma raiz, pois substituindo na equação:
.

Passo 4

Então, podemos dividir o polinômio por usando divisão polinomial ou sintética. Após a divisão, obtemos:
.

Passo 5

Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico . Testando novamente, vemos que é uma raiz:
.

Passo 6

Dividindo por , encontramos:
.

Passo 7

O polinômio quadrático pode ser fatorado como . Portanto, o denominador completo fica:
.

Passo 8

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração em frações parciais:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, substituímos valores de para encontrar os coeficientes .

Passo 10

Primeiro, coloque :
Agora, coloque :

Passo 11

Para encontrar e , podemos expandir a equação e comparar os coeficientes dos termos correspondentes:
Após simplificar e comparar os coeficientes, encontramos:
e .

Passo 12

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 13

Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais são:

Resposta

A integral indefinida é:

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