Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada: . Podemos reescrever essa expressão de uma forma mais trabalhável completando o quadrado.
Reescrevendo:
Agora, completamos o quadrado para :
Então:
A expressão dentro da raiz ficou:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observe que a expressão se assemelha à forma , onde podemos usar a substituição . Aqui, e .
Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na integral original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos uma técnica conhecida como substituição da tangente da metade do ângulo. Definimos:
Então:
Substituindo na integral:
Completa-se o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Esse tipo de integral é resolvido usando logaritmos:
Aplicando isso aqui:
Passo 5
Agora, voltamos às substituições que fizemos para expressar tudo em termos de t = tan(theta2) e x = 12 + 32 sin(theta) . Lembrando que:
sin(theta) = 2x - 13
Primeiro, expressamos t = tan(12 arcsin(2x - 13)) em termos de 1raiz2 ln|tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 - 2raiz2tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 + 2raiz2| + C :
Então, , e:
Substituindo tudo de volta, a integral em termos de fica: