Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada: . Podemos reescrever essa expressão de uma forma mais trabalhável completando o quadrado.
Reescrevendo:
Agora, completamos o quadrado para :
Então:
A expressão dentro da raiz ficou:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observe que a expressão se assemelha à forma , onde podemos usar a substituição . Aqui, e .
Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos uma técnica conhecida como substituição da tangente da metade do ângulo. Definimos:
Então:
Substituindo na integral:
Completa-se o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Esse tipo de integral é resolvido usando logaritmos:
Aplicando isso aqui:

Passo 5

Agora, voltamos às substituições que fizemos para expressar tudo em termos de . Lembrando que:
Primeiro, expressamos em termos de :
Então, , e:
Substituindo tudo de volta, a integral em termos de fica:

Resposta

A integral indefinida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida:
Calcule , onde e C é a curva da interseção do plano com o cilindro

Resposta:

Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: