Calcule a integral indefinida:
integral d xx raiz2+x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada: 2 + x - x^2 = -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) . Podemos reescrever essa expressão de uma forma mais trabalhável completando o quadrado.
Reescrevendo:
x^2 - x - 2 = (x - 12)^2 - 94
Agora, completamos o quadrado para 2 + x - x^2 = -((x - 12)^2 - 94) = 94 - (x - 12)^2 :
raiz2 + x - x^2 = raiz94 - (x - 12)^2
Então:
A expressão dentro da raiz ficou:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observe que a expressão x - 12 = 32 sin(theta) Rightarrow x = 12 + 32 sin(theta) se assemelha à forma dx = 32 cos(theta) dtheta , onde podemos usar a substituição integral dxx raiz94 - (x - 12)^2 = integral 32 cos(theta) dtheta(12 + 32 sin(theta)) cdot 32 cos(theta) = integral 112 + 32 sin(theta) dtheta . Aqui, integral 112 + 32 sin(theta) dtheta = integral 21 + 3 sin(theta) dtheta e .
Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral t = tan(theta2) . Para isso, usamos uma técnica conhecida como substituição da tangente da metade do ângulo. Definimos:
sin(theta) = 2t1 + t^2 e dtheta = 21 + t^2 dt
Então:
integral 21 + 3 (2t1 + t^2) cdot 21 + t^2 dt = integral 41 + t^2 + 6t dt
Substituindo na integral:
1 + t^2 + 6t = (t + 3)^2 - 8
Completa-se o quadrado no denominador:
integral 4(t + 3)^2 - 8 dt
Então, a integral fica:
integral Au^2 - a^2 du = A2a ln|u - au + a| + C
Esse tipo de integral é resolvido usando logaritmos:
42 cdot 2raiz2 ln|t + 3 - 2raiz2t + 3 + 2raiz2| + C = 1raiz2 ln|t + 3 - 2raiz2t + 3 + 2raiz2| + C
Aplicando isso aqui:

Passo 5

Agora, voltamos às substituições que fizemos para expressar tudo em termos de t = tan(theta2) e x = 12 + 32 sin(theta) . Lembrando que:
sin(theta) = 2x - 13
Primeiro, expressamos t = tan(12 arcsin(2x - 13)) em termos de 1raiz2 ln|tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 - 2raiz2tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 + 2raiz2| + C :
Então, , e:
Substituindo tudo de volta, a integral em termos de fica:

Resposta

A integral indefinida é:
1raiz2 ln|tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 - 2raiz2tan(12 arcsin(2x - 13)) + 3 + 2raiz2| + C
onde é a constante de integração.

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