Calcule a integral indefinida: integral 48 sen^2 x cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e sen^2x = 1 - cos2x2 e cos^2x = 1 + cos2x2 podem ser reescritas usando as identidades de potência:
Vamos aplicar essas identidades na integral.

Passo 3

Substituindo na integral:
Simplificando os coeficientes:
48 integral sen^2x cos^4x , dx = 48 integral (1 - cos2x2) (1 + 2cos2x + cos^22x4) dx
Então, a integral fica:
48 times 12 times 14 = 6

Passo 4

Expandindo os termos dentro da integral:
(1 - cos2x)(1 + 2cos2x + cos^22x) = 1 + cos2x - cos^22x - cos^32x
Então, a integral fica:
6 integral (1 + cos2x - cos^22x - cos^32x) dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral 1 , dx = x
Substituindo de volta:

Passo 6

Simplificando os termos:

Resposta

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