Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata cilíndrica fechada com capacidade de 1 litro. Queremos descobrir qual o formato dessa lata que usa a menor quantidade de material possível, ou seja, que tem a área de superfície mínima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre cilindros e um pouco de cálculo para encontrar o mínimo da função que representa a área.

Passo 2

Vamos começar lembrando que 1 litro é igual a 1000 centímetros cúbicos (cm³). A capacidade da lata, que é o volume , é dada pela fórmula do volume de um cilindro:
onde é o raio da base e é a altura da lata.

Passo 3

Sabemos que o volume é 1000 cm³. Então, podemos escrever:
Dessa equação, podemos isolar :
Isso nos dá a altura em função do raio.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a área total da lata. A área de superfície de um cilindro fechado é a soma da área das duas bases e da área lateral:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar usando a equação que derivamos anteriormente:
Substituindo :
Simplificando:
Isso mostra que a altura é igual ao diâmetro da base (já que o diâmetro é ).

Resposta

A lata cilíndrica com capacidade de 1 litro que possui a área de superfície mínima tem a altura igual ao diâmetro da base.

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