Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata cilíndrica fechada com capacidade de 1 litro. Queremos descobrir qual o formato dessa lata que usa a menor quantidade de material possível, ou seja, que tem a área de superfície mínima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre cilindros e um pouco de cálculo para encontrar o mínimo da função que representa a área.
Passo 2
Vamos começar lembrando que 1 litro é igual a 1000 centímetros cúbicos (cm³). A capacidade da lata, que é o volume
, é dada pela fórmula do volume de um cilindro:
onde
é o raio da base e
é a altura da lata.
Passo 3
Sabemos que o volume
é 1000 cm³. Então, podemos escrever:
Dessa equação, podemos isolar
:
Isso nos dá a altura em função do raio.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a área total
da lata. A área de superfície de um cilindro fechado é a soma da área das duas bases e da área lateral:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a equação que derivamos anteriormente:
Substituindo
:
Simplificando:
Isso mostra que a altura
é igual ao diâmetro da base (já que o diâmetro é
).
Resposta
A lata cilíndrica com capacidade de 1 litro que possui a área de superfície mínima tem a altura igual ao diâmetro da base.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida:
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Calcule a integral indefinida: