Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores exige que as caixas tenham
de comprimento e
de volume. Quais as dimensões de cada caixa para que o fabricante use a menor quantidade de papelão?
Passo 1
Então, temos uma fábrica que faz caixas retangulares de papelão. O comprador quer que cada caixa tenha 1 metro de comprimento e um volume de 2 metros cúbicos. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser as outras duas dimensões (largura e altura) da caixa para que a quantidade de papelão usada seja a menor possível. Isso envolve um pouco de matemática de otimização e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume de uma caixa retangular é calculado pela fórmula:
Sabemos que o comprimento (L) é 1 metro e o volume (V) é 2 metros cúbicos. Então podemos escrever:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos minimizar a quantidade de papelão utilizada, ou seja, minimizar a área total da superfície da caixa. A fórmula para a área superficial (A) de uma caixa retangular é:
Como o comprimento é 1 metro, substituímos na fórmula:
Passo 4
Da equação (1), sabemos que
. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, altura:
Agora, substituímos esse valor de altura na fórmula da área superficial:
Passo 5
Para encontrar o valor de largura que minimiza a área superficial, podemos usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM ≥ GM). Aplicando isso às duas primeiras partes da expressão:
A igualdade acontece quando
, ou seja, quando:
Substituindo de volta, temos:
Resposta
As dimensões da caixa para usar a menor quantidade de papelão são:
- Comprimento: 1 metro
- Largura:
metros - Altura:
metros
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c) Pontos de máximo e mínimos locais;
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f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
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