Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores exige que as caixas tenham
1 m de comprimento e 2 m^3 de volume. Quais as dimensões de cada caixa para que o fabricante use a menor quantidade de papelão?

Passo 1

Então, temos uma fábrica que faz caixas retangulares de papelão. O comprador quer que cada caixa tenha 1 metro de comprimento e um volume de 2 metros cúbicos. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser as outras duas dimensões (largura e altura) da caixa para que a quantidade de papelão usada seja a menor possível. Isso envolve um pouco de matemática de otimização e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume de uma caixa retangular é calculado pela fórmula:
Sabemos que o comprimento (L) é 1 metro e o volume (V) é 2 metros cúbicos. Então podemos escrever:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos minimizar a quantidade de papelão utilizada, ou seja, minimizar a área total da superfície da caixa. A fórmula para a área superficial (A) de uma caixa retangular é:
Como o comprimento é 1 metro, substituímos na fórmula:

Passo 4

Da equação (1), sabemos que . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, altura:
Agora, substituímos esse valor de altura na fórmula da área superficial:

Passo 5

Para encontrar o valor de largura que minimiza a área superficial, podemos usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM ≥ GM). Aplicando isso às duas primeiras partes da expressão:
A igualdade acontece quando , ou seja, quando:
Substituindo de volta, temos:

Resposta

As dimensões da caixa para usar a menor quantidade de papelão são:
  • Comprimento: 1 metro
  • Largura: metros
  • Altura: metros

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