Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (x - 3)^3 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função para encontrar seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos. Esses são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe.
Então, temos um único ponto crítico em .

Passo 4

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira.
Como , e um quadrado sempre é positivo ou zero, temos:
  • para todo exceto .
  • em .
Isso significa que a função está sempre crescente, já que a derivada nunca é negativa.

Passo 5

Agora, vamos ver se o ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local.
Como a função está sempre crescendo e a derivada toca zero apenas em sem mudar de sinal, não há mudança na tendência de crescimento. Portanto, não há máximo ou mínimo local.

Passo 6

Vamos calcular a derivada segunda para analisar a concavidade da função.

Passo 7

Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão, observamos o sinal da derivada segunda:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
  • Se , pode haver um ponto de inflexão.
Resolvendo :
Então, em pode ocorrer uma mudança na concavidade, o que caracteriza um ponto de inflexão.
Para confirmar, escolhemos valores de em torno de 3:
  • Para , digamos : (côncava para baixo).
  • Para , digamos : (côncava para cima).
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 8

Por fim, vamos fazer o esboço do gráfico usando todas as informações obtidas:
  • A função é sempre crescente.
  • Não há máximos ou mínimos locais.
  • Há um ponto de inflexão em .
  • A concavidade muda de para baixo para para cima em .
  • O ponto de inflexão é .

Resposta

  • Ponto Crítico:
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalos de Decrescimento: Nenhum
  • Pontos de Máximo e Mínimo Locais: Nenhum
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em
    • Côncava para cima em
  • Ponto de Inflexão:
  • Esboço do Gráfico: A função é uma curva sempre crescente com um ponto de inflexão em , mudando de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto.

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Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x^2 - 4x + 3