Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
para encontrar seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos. Esses são os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe.
Então, temos um único ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira.
Como
, e um quadrado sempre é positivo ou zero, temos:
-
para todo exceto . -
em .
Isso significa que a função está sempre crescente, já que a derivada nunca é negativa.
Passo 5
Agora, vamos ver se o ponto crítico
é um ponto de máximo ou mínimo local.
Como a função está sempre crescendo e a derivada toca zero apenas em
sem mudar de sinal, não há mudança na tendência de crescimento. Portanto, não há máximo ou mínimo local.
Passo 6
Vamos calcular a derivada segunda para analisar a concavidade da função.
Passo 7
Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão, observamos o sinal da derivada segunda:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo. - Se
, pode haver um ponto de inflexão.
Resolvendo
:
Então, em
pode ocorrer uma mudança na concavidade, o que caracteriza um ponto de inflexão.
Para confirmar, escolhemos valores de
em torno de 3:
- Para
, digamos : (côncava para baixo). - Para
, digamos : (côncava para cima).
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Por fim, vamos fazer o esboço do gráfico usando todas as informações obtidas:
- A função é sempre crescente.
- Não há máximos ou mínimos locais.
- Há um ponto de inflexão em
. - A concavidade muda de para baixo para para cima em
. - O ponto de inflexão é
.
Resposta
- Ponto Crítico:
- Intervalos de Crescimento:
- Intervalos de Decrescimento: Nenhum
- Pontos de Máximo e Mínimo Locais: Nenhum
- Concavidade:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
- Ponto de Inflexão:
- Esboço do Gráfico: A função é uma curva sempre crescente com um ponto de inflexão em
, mudando de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto.
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d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;