Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa analisar a função
. O que queremos é encontrar os pontos críticos, saber onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade, encontrar pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar pontos críticos e intervalos de crescimento ou decrescimento. A derivada de
é calculada usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Como
nunca é zero, temos que
, ou seja,
. Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Porém,
não está no domínio da função original. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhamos o sinal da derivada primeira:
Sabemos que
para todo
, e
para
. Então, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), então e a função está crescendo. - Se
(ou seja, ), então e a função está decrescendo.
Passo 5
Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando o ponto crítico que encontramos (
) e a análise dos intervalos de crescimento.
Como a função muda de decrescente para crescente passando por
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Para encontrar o valor de
nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Derivada primeira:
Derivada segunda usando a regra do quociente e a regra do produto:
Passo 7
Vamos analisar a concavidade da função olhando o sinal da derivada segunda
:
Como
e
tem o mesmo sinal de
, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), então se e se . Como nossa função está definida para (porque está no denominador), temos que para , indicando que a função é côncava para cima nesse intervalo. - Se
(ou seja, ), então , indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 8
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a concavidade muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Isso acontece quando
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Para encontrar o valor de
:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Passo 9
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que coletamos:
- Domínio:
- Ponto crítico:
que é um mínimo local - Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Concavidade:
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Ponto de inflexão:
No gráfico, a função terá uma curva que desce até
, atinge o mínimo em
, depois começa a crescer. A concavidade muda em
, onde há um ponto de inflexão.
Resposta
A análise completa da função
resulta em:
a) Ponto Crítico:
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescente para
- Decrescente para
c) Ponto de Mínimo Local:
d) Concavidade:
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
e) Ponto de Inflexão:
f) Esboço do Gráfico: Conforme descrito no passo 9, com comportamento decrescente até
, mínimo em
, crescimento após
, e mudança de concavidade em
.
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