Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = e^x / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa analisar a função . O que queremos é encontrar os pontos críticos, saber onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade, encontrar pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar pontos críticos e intervalos de crescimento ou decrescimento. A derivada de é calculada usando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Como nunca é zero, temos que , ou seja, . Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, não está no domínio da função original. Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhamos o sinal da derivada primeira:
Sabemos que para todo , e para . Então, o sinal de depende de :
  • Se (ou seja, ), então e a função está crescendo.
  • Se (ou seja, ), então e a função está decrescendo.

Passo 5

Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando o ponto crítico que encontramos ( ) e a análise dos intervalos de crescimento.
Como a função muda de decrescente para crescente passando por , isso indica que é um ponto de mínimo local.
Para encontrar o valor de nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Derivada primeira:
Derivada segunda usando a regra do quociente e a regra do produto:

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função olhando o sinal da derivada segunda :
Como e tem o mesmo sinal de , o sinal de depende de :
  • Se (ou seja, ), então se e se . Como nossa função está definida para (porque está no denominador), temos que para , indicando que a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se (ou seja, ), então , indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 8

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a concavidade muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Isso acontece quando :
Então, temos um ponto de inflexão em .
Para encontrar o valor de :
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 9

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que coletamos:
  • Domínio:
  • Ponto crítico: que é um mínimo local
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento:
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em
    • Côncava para baixo em
  • Ponto de inflexão:
No gráfico, a função terá uma curva que desce até , atinge o mínimo em , depois começa a crescer. A concavidade muda em , onde há um ponto de inflexão.

Resposta

A análise completa da função resulta em:
a) Ponto Crítico:
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • Crescente para
  • Decrescente para
c) Ponto de Mínimo Local:
d) Concavidade:
  • Côncava para cima em
  • Côncava para baixo em
e) Ponto de Inflexão:
f) Esboço do Gráfico: Conforme descrito no passo 9, com comportamento decrescente até , mínimo em , crescimento após , e mudança de concavidade em .

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