Calcule a integral indefinida integral cos x-1x d x como uma série infinita e diga qual é o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de em forma de série infinita e determinar o intervalo de convergência. Isso envolve conceitos de séries de potências e integração de séries. Para resolver, vamos precisar expandir em uma série de Maclaurin, subtrair 1, dividir por e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Maclaurin para cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! :
cos x - 1 = sumn=1^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Aqui, começamos a soma de porque o termo é exatamente 1, que é subtraído.

Passo 3

Agora, vamos dividir essa expressão por cos x - 1x = sumn=1^infty (-1)^n x^2n(2n)! cdot x = sumn=1^infty (-1)^n x^2n - 1(2n)! :
Isso simplifica a potência de de para .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo essa série:
integral cos x - 1x dx = integral sumn=1^infty (-1)^n x^2n - 1(2n)! dx = sumn=1^infty (-1)^n(2n)! integral x^2n - 1 dx
A troca de integral e soma é válida dentro do intervalo de convergência.

Passo 5

Integrando integral x^2n - 1 dx = x^2n2n + C :
Onde é a constante de integração, que podemos omitir na série.

Passo 6

Substituindo de volta na série:
integral cos x - 1x dx = sumn=1^infty (-1)^n(2n)! cdot x^2n2n = sumn=1^infty (-1)^n x^2n2n cdot (2n)!

Passo 7

Para determinar o intervalo de convergência dessa série, observamos que a série original de converge para todo (série de Maclaurin para tem raio de convergência infinito). Dividir por não altera o intervalo de convergência, e integrar termo a termo também preserva esse intervalo. Portanto, a série integrada também converge para todo . No entanto, como estamos trabalhando com uma integral indefinida, consideramos .

Resposta

A integral indefinida de integral cos x - 1x dx = sumn=1^infty (-1)^n x^2n2n cdot (2n)! + C como série infinita é:
O intervalo de convergência dessa série é para todo número real .

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