Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga qual é o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
em forma de série infinita e determinar o intervalo de convergência. Isso envolve conceitos de séries de potências e integração de séries. Para resolver, vamos precisar expandir
em uma série de Maclaurin, subtrair 1, dividir por
e então integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Maclaurin para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Aqui, começamos a soma de
porque o termo
é exatamente 1, que é subtraído.
Passo 3
Agora, vamos dividir essa expressão por
:
Isso simplifica a potência de
de
para
.
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo essa série:
A troca de integral e soma é válida dentro do intervalo de convergência.
Passo 5
Integrando
:
Onde
é a constante de integração, que podemos omitir na série.
Passo 6
Substituindo de volta na série:
Passo 7
Para determinar o intervalo de convergência dessa série, observamos que a série original de
converge para todo
(série de Maclaurin para
tem raio de convergência infinito). Dividir por
não altera o intervalo de convergência, e integrar termo a termo também preserva esse intervalo. Portanto, a série integrada também converge para todo
. No entanto, como estamos trabalhando com uma integral indefinida, consideramos
.
Resposta
A integral indefinida de
como série infinita é:
O intervalo de convergência dessa série é para todo número real
.