Esboce o campo direcional da EDO dy/dx
. Construa uma tabela com alguns pontos. Em seguida, esboce a curva solução aproximada que passar por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente vai trabalhar com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é dada por dy/dx = x² - y². A ideia é esboçar o campo direcional dessa EDO, fazer uma tabela com alguns pontos que ajudam a visualizar o campo, e depois desenhar a curva solução que passa pelo ponto inicial y(0) = 2. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo direcional e como calcular as inclinações das tangentes em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo direcional. Ele é tipo um mapa que mostra a inclinação das curvas solução da EDO em vários pontos do plano xy. Cada ponto (x, y) vai ter uma linha pequena que mostra a direção da derivada dy/dx naquele ponto. No nosso caso, dy/dx = x² - y², então para cada par (x, y), a inclinação da linha será calculada usando essa fórmula.
Passo 3
Vamos montar uma tabela com alguns valores de x e y e calcular dy/dx para cada par. Escolhi valores próximos ao ponto inicial y(0) = 2 para facilitar a visualização.
x | y | dy/dx = x² - y² |
---|---|---|
0 | 1 | 0² - 1² = -1 |
0 | 2 | 0² - 2² = -4 |
0 | 3 | 0² - 3² = -9 |
1 | 2 | 1² - 2² = -3 |
1 | 3 | 1² - 3² = -8 |
-1 | 2 | (-1)² - 2² = -3 |
-1 | 1 | (-1)² - 1² = 0 |
2 | 2 | 2² - 2² = 0 |
2 | 3 | 2² - 3² = -5 |
Passo 4
Com essa tabela, podemos desenhar as pequenas linhas inclinadas em cada ponto (x, y) correspondente. Essas linhas representam a direção que a curva solução teria naquele ponto. Por exemplo, no ponto (0,2), a inclinação é -4, o que significa que a curva está descendo bastante ali.
Passo 5
Agora, com o campo direcional esboçado, a gente pode começar a desenhar a curva que passa por y(0) = 2. A ideia é conectar os pontos seguindo as inclinações das linhas que desenhamos. Começando no ponto (0,2), observamos as inclinações nas vizinhanças e traçamos a curva de forma que ela siga essas direções, formando uma trajetória suave.
Resposta
O campo direcional da EDO dy/dx = x² - y² foi esboçado utilizando a tabela de pontos calculados, e a curva solução que passa por y(0) = 2 foi desenhada seguindo as inclinações dessas linhas, resultando em uma trajetória aproximada que representa a solução da equação diferencial.
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