Esboce o campo direcional da EDO dy/dx . Construa uma tabela com alguns pontos. Em seguida, esboce a curva solução aproximada que passar por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente vai trabalhar com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é dada por dy/dx = x² - y². A ideia é esboçar o campo direcional dessa EDO, fazer uma tabela com alguns pontos que ajudam a visualizar o campo, e depois desenhar a curva solução que passa pelo ponto inicial y(0) = 2. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo direcional e como calcular as inclinações das tangentes em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo direcional. Ele é tipo um mapa que mostra a inclinação das curvas solução da EDO em vários pontos do plano xy. Cada ponto (x, y) vai ter uma linha pequena que mostra a direção da derivada dy/dx naquele ponto. No nosso caso, dy/dx = x² - y², então para cada par (x, y), a inclinação da linha será calculada usando essa fórmula.

Passo 3

Vamos montar uma tabela com alguns valores de x e y e calcular dy/dx para cada par. Escolhi valores próximos ao ponto inicial y(0) = 2 para facilitar a visualização.
x y dy/dx = x² - y²
0 1 0² - 1² = -1
0 2 0² - 2² = -4
0 3 0² - 3² = -9
1 2 1² - 2² = -3
1 3 1² - 3² = -8
-1 2 (-1)² - 2² = -3
-1 1 (-1)² - 1² = 0
2 2 2² - 2² = 0
2 3 2² - 3² = -5

Passo 4

Com essa tabela, podemos desenhar as pequenas linhas inclinadas em cada ponto (x, y) correspondente. Essas linhas representam a direção que a curva solução teria naquele ponto. Por exemplo, no ponto (0,2), a inclinação é -4, o que significa que a curva está descendo bastante ali.

Passo 5

Agora, com o campo direcional esboçado, a gente pode começar a desenhar a curva que passa por y(0) = 2. A ideia é conectar os pontos seguindo as inclinações das linhas que desenhamos. Começando no ponto (0,2), observamos as inclinações nas vizinhanças e traçamos a curva de forma que ela siga essas direções, formando uma trajetória suave.

Resposta

O campo direcional da EDO dy/dx = x² - y² foi esboçado utilizando a tabela de pontos calculados, e a curva solução que passa por y(0) = 2 foi desenhada seguindo as inclinações dessas linhas, resultando em uma trajetória aproximada que representa a solução da equação diferencial.

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