Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver o exercício que pede para identificar os pontos críticos e esboçar os campos de direção da seguinte equação diferencial:
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente sobre pontos críticos e campos de direção. Vamos precisar entender como encontrar os pontos onde a derivada é zero (pontos críticos) e como representar graficamente o comportamento da função através dos campos de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Os pontos críticos ocorrem quando a derivada
é igual a zero. Ou seja, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o tipo desse ponto crítico. Para isso, podemos olhar o comportamento da derivada em relação a
:
- Se
, então é negativo, o que significa que . Isso indica que a solução está decrescendo. - Se
, então é positivo, ou seja, . Isso indica que a solução está crescendo.
Como
tende a 2 tanto de cima quanto de baixo, o ponto
é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 5
Vamos agora esboçar o campo de direção para a equação
. O campo de direção nos mostra a inclinação das soluções em cada ponto
.
- Para
, as setas do campo apontam para baixo (decrescendo). - Para
, as setas apontam para cima (crescendo). - Em
, as setas são horizontais, indicando o ponto crítico.
Isso resulta em um campo de direção que converge para
, confirmando que é um ponto de equilíbrio estável.
Resposta
O ponto crítico é
e o campo de direção mostra que as soluções convergem para esse ponto, indicando um equilíbrio estável.
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Esboce o campo direcional da EDO dy/dx
. Construa uma tabela com alguns pontos. Em seguida, esboce a curva solução aproximada que passar por
.
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga qual é o seu intervalo de convergência.
Se
onde
e
: Encontre as expressões de
e
em função de
e
;