Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o exercício que pede para identificar os pontos críticos e esboçar os campos de direção da seguinte equação diferencial: . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente sobre pontos críticos e campos de direção. Vamos precisar entender como encontrar os pontos onde a derivada é zero (pontos críticos) e como representar graficamente o comportamento da função através dos campos de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da equação diferencial. Os pontos críticos ocorrem quando a derivada é igual a zero. Ou seja, vamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o tipo desse ponto crítico. Para isso, podemos olhar o comportamento da derivada em relação a :
  • Se , então é negativo, o que significa que . Isso indica que a solução está decrescendo.
  • Se , então é positivo, ou seja, . Isso indica que a solução está crescendo.
Como tende a 2 tanto de cima quanto de baixo, o ponto é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 5

Vamos agora esboçar o campo de direção para a equação . O campo de direção nos mostra a inclinação das soluções em cada ponto .
  • Para , as setas do campo apontam para baixo (decrescendo).
  • Para , as setas apontam para cima (crescendo).
  • Em , as setas são horizontais, indicando o ponto crítico.
Isso resulta em um campo de direção que converge para , confirmando que é um ponto de equilíbrio estável.

Resposta

O ponto crítico é e o campo de direção mostra que as soluções convergem para esse ponto, indicando um equilíbrio estável.

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