Se z=f(x, y) onde x=r cos (theta) e y=r sen(theta) : Encontre as expressões de partial zpartial r e partial zpartial r em função de partial zpartial x e partial zpartial y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função z = f(x, y), onde as variáveis x e y estão relacionadas às coordenadas polares r e theta pelas equações x = r cos(theta) e y = r sin(theta). O objetivo é encontrar as expressões das derivadas parciais partial zpartial r e partial zpartial theta em termos das derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como as variáveis estão conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para derivadas parciais. Quando temos uma função z = f(x, y) e x e y são funções de outras variáveis, digamos r e theta, a derivada parcial de z em relação a r é dada por:
partial zpartial r = partial zpartial x cdot partial xpartial r + partial zpartial y cdot partial ypartial r
E de forma similar para theta:
partial zpartial theta = partial zpartial x cdot partial xpartial theta + partial zpartial y cdot partial ypartial theta

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a r e theta.
Para x = r cos(theta):
partial xpartial r = cos(theta) e partial xpartial theta = -r sin(theta)
Para y = r sin(theta):
partial ypartial r = sin(theta) e partial ypartial theta = r cos(theta)

Passo 4

Substituindo essas derivadas na regra da cadeia que escrevemos no Passo 2, temos:
Para partial zpartial r:
partial zpartial r = partial zpartial x cdot cos(theta) + partial zpartial y cdot sin(theta)
E para partial zpartial theta:
partial zpartial theta = partial zpartial x cdot (-r sin(theta)) + partial zpartial y cdot r cos(theta)

Resposta

As expressões das derivadas parciais são:
partial zpartial r = partial zpartial x cos(theta) + partial zpartial y sin(theta)
partial zpartial theta = -r sin(theta) partial zpartial x + r cos(theta) partial zpartial y

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