Seja f(x, y) = x^2 - x*y + y^2 - y. Encontre as direções u = (u1, u2) e os valores de D_u f(1,-1) para os quais: D_u f(1,-1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função e pede para encontrarmos as direções e os valores da derivada direcional que sejam iguais a zero. Isso está dentro do tópico de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e entender como ele se relaciona com a direção .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 3

A derivada direcional em um ponto é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção . Matemáticamente, isso é:
No nosso caso, no ponto , temos:

Passo 4

Queremos que a derivada direcional seja igual a zero:
Isso significa que:
Como é um vetor direção, ele deve ser um vetor unitário. Ou seja:
Substituindo :
Então, ou . Correspondentemente:

Resposta

As direções são e , e os valores de para essas direções são iguais a zero.

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