Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função
e pede para encontrarmos as direções
e os valores da derivada direcional
que sejam iguais a zero. Isso está dentro do tópico de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e entender como ele se relaciona com a direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 3
A derivada direcional
em um ponto é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção
. Matemáticamente, isso é:
No nosso caso, no ponto
, temos:
Passo 4
Queremos que a derivada direcional seja igual a zero:
Isso significa que:
Como
é um vetor direção, ele deve ser um vetor unitário. Ou seja:
Substituindo
:
Então,
ou
. Correspondentemente:
Resposta
As direções
são
e
, e os valores de
para essas direções são iguais a zero.