Calcule a integral indefinida: integral cos x cdot cos (sen x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral indefinida integral cos x cdot cos (sin x) , dx. Isso envolve funções trigonométricas e uma função composta, então vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir uma nova variável para substituir parte da expressão complicada. Vamos escolher u = sin x. Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = cos x , dx
Isso é útil porque temos cos x , dx na nossa integral original.

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral em termos de u:
integral cos x cdot cos (sin x) , dx = integral cos u , du
Aqui, substituímos sin x por u e cos x , dx por du, simplificando bastante a integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de cos u em relação a u. A integral de cos u é:
integral cos u , du = sin u + C
Onde C é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos integrações indefinidas.

Passo 5

Por fim, precisamos voltar à variável original x. Lembramos que fizemos a substituição u = sin x, então substituímos u de volta:
sin u + C = sin (sin x) + C

Resposta

A integral indefinida é sin(sin x) + C.

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