Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral indefinida . Isso envolve funções trigonométricas e uma função composta, então vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir uma nova variável para substituir parte da expressão complicada. Vamos escolher . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso é útil porque temos na nossa integral original.

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral em termos de :
Aqui, substituímos por e por , simplificando bastante a integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de em relação a . A integral de é:
Onde é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos integrações indefinidas.

Passo 5

Por fim, precisamos voltar à variável original . Lembramos que fizemos a substituição , então substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é .

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Calcule a integral indefinida:
Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:
Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Encontre se
, e .