Calcule a integral indefinida: integral sen omega t sen(omega t+theta) d t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de sin(omega t) sin(omega t + theta) em relação a t. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar produtos de senos.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a integração, vamos simplificar a expressão sin(omega t) sin(omega t + theta) usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aqui, vamos considerar A = omega t e B = omega t + theta.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin(omega t) sin(omega t + theta) = 12 [cos(omega t - (omega t + theta)) - cos(omega t + (omega t + theta))]
Simplificando dentro dos parênteses:
= 12 [cos(-theta) - cos(2omega t + theta)]
Como cos(-theta) = costheta, a expressão fica:
= 12 [costheta - cos(2omega t + theta)]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(omega t) sin(omega t + theta) , dt = integral 12 [costheta - cos(2omega t + theta)] , dt
Podemos separar a integral em duas partes:
= costheta2 integral dt - 12 integral cos(2omega t + theta) , dt

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Para a primeira parte:
costheta2 integral dt = costheta2 cdot t
  1. Para a segunda parte, usamos uma substituição simples. Sabemos que:
integral cos(kt + c) , dt = sin(kt + c)k + C
onde k é uma constante e c é uma constante de deslocamento.
Aplicando isso:
- 12 integral cos(2omega t + theta) , dt = -12 cdot sin(2omega t + theta)2omega = -sin(2omega t + theta)4omega

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
costheta2 cdot t - sin(2omega t + theta)4omega + C
onde C é a constante de integração.

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