Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função
usando a técnica de convolução. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como a convolução funciona para combinar funções no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace nos ajuda a passar do domínio da frequência (s) para o domínio do tempo (t). A técnica de convolução é útil quando temos um produto de duas funções na variável s, porque isso se traduz em uma convolução das suas transformadas no tempo.
Passo 3
Vamos reescrever
de uma forma que possamos aplicar a convolução. Observamos que:
Aqui, conseguimos separar
como um produto de duas funções:
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de
e
individualmente.
Para
:
Sabemos que
. Então,
Para
:
Sabemos que
. Aqui,
, então
Passo 5
Com
e
encontrados, agora vamos aplicar a convolução para encontrar
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Agora, resolvemos a integral
. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Aplicando os limites de 0 a t:
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de
é:
Exercícios relacionados
Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: