Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função usando a técnica de convolução. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como a convolução funciona para combinar funções no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace nos ajuda a passar do domínio da frequência (s) para o domínio do tempo (t). A técnica de convolução é útil quando temos um produto de duas funções na variável s, porque isso se traduz em uma convolução das suas transformadas no tempo.

Passo 3

Vamos reescrever de uma forma que possamos aplicar a convolução. Observamos que:
Aqui, conseguimos separar como um produto de duas funções: e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e individualmente.
Para :
Sabemos que . Então,
Para :
Sabemos que . Aqui, , então

Passo 5

Com e encontrados, agora vamos aplicar a convolução para encontrar :
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Agora, resolvemos a integral . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Aplicando os limites de 0 a t:

Passo 7

Voltando à expressão de :
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: