Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a convolução entre as funções e . A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para formar uma terceira, mostrando como a forma de uma é modificada pela outra. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos e utilizar conceitos de cálculo que envolvem integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição matemática da convolução entre duas funções e :
Isso significa que, para cada valor de , a convolução é a integral do produto das duas funções, onde uma delas é invertida no tempo e deslocada.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa questão, temos:
Aqui, substituímos e .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fizemos isso para facilitar a integração que virá a seguir.

Passo 5

Agora, a integral fica:
Fatoramos porque ele é constante em relação à variável de integração .

Passo 6

Vamos calcular a integral . Para isso, usamos o método de integração por partes, onde:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Então:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a :
Simplificando:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da convolução:
Simplificamos os termos para obter a expressão final.

Resposta

Portanto, a convolução é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Encontre se
, e .
Calcule a integral indefinida: