Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a convolução entre as funções
e
. A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para formar uma terceira, mostrando como a forma de uma é modificada pela outra. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos e utilizar conceitos de cálculo que envolvem integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição matemática da convolução entre duas funções
e
:
Isso significa que, para cada valor de
, a convolução é a integral do produto das duas funções, onde uma delas é invertida no tempo e deslocada.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa questão, temos:
Aqui, substituímos
e
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fizemos isso para facilitar a integração que virá a seguir.
Passo 5
Agora, a integral fica:
Fatoramos
porque ele é constante em relação à variável de integração
.
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Para isso, usamos o método de integração por partes, onde:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Então:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a
:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da convolução:
Simplificamos os termos para obter a expressão final.
Resposta
Portanto, a convolução
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Encontre
se
Calcule a integral indefinida: