Encontre i=i(t), t>0 se
L d id t+R i+1C integral0^t i(tau) d tau=sen t
com L=1, R=3, C=1 / 2, e i(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função L d id t + R i + 1C integral0^t i(tau) d tau = sin t para que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares com termos integrais, que aparecem frequentemente em circuitos elétricos envolvendo indutância (L), resistência ® e capacitância ©.
O que vamos precisar: Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, aplicando a transformação de Laplace para facilitar a resolução, e depois fazer a decomposição em frações parciais para achar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores dados: 1 cdot d id t + 3 i + 112 integral0^t i(tau) d tau = sin t , d id t + 3 i + 2 integral0^t i(tau) d tau = sin t e . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação que mistura derivadas e integrais, vamos aplicar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, onde é mais fácil resolver.
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados:
s I(s) - i(0) + 3 I(s) + 2s I(s) = 1s^2 + 1
Aqui, é a Transformada de Laplace de e usamos a condição inicial .

Passo 4

Substituindo s I(s) - 1 + 3 I(s) + 2s I(s) = 1s^2 + 1 na equação:
(s + 3 + 2s) I(s) = 1s^2 + 1 + 1
Vamos agrupar os termos com :

Passo 5

Para facilitar, multiplicamos todos os termos por (s^2 + 3s + 2) I(s) = ss^2 + 1 + s para eliminar a fração:
I(s) = ss^2 + 1 + ss^2 + 3s + 2
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
I(s) = s + s(s^2 + 1)(s^2 + 1)(s + 1)(s + 2)
Isso resulta em:
I(s) = s^3 + 2s(s^2 + 1)(s + 1)(s + 2)

Passo 7

Para encontrar I(s) = -1.5s + 1 + 2.4s + 2 + 0.1s + 0.3s^2 + 1 , precisamos fazer a Decomposição em Frações Parciais da expressão de . Isso envolve quebrar a fração complexa em termos mais simples que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Após a decomposição, obtemos:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace Inversa em cada termo:
i(t) = -1.5 e^-t + 2.4 e^-2t + 0.1 cos(t) + 0.3 sin(t)

Resposta

i(t) = -1.5, e^-t + 2.4, e^-2t + 0.1, cos(t) + 0.3, sin(t)

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