Encontre
se
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
para
que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares com termos integrais, que aparecem frequentemente em circuitos elétricos envolvendo indutância (L), resistência ® e capacitância ©.
O que vamos precisar: Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, aplicando a transformação de Laplace para facilitar a resolução, e depois fazer a decomposição em frações parciais para achar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores dados:
,
e
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação que mistura derivadas e integrais, vamos aplicar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, onde é mais fácil resolver.
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados:
Aqui,
é a Transformada de Laplace de
e usamos a condição inicial
.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Vamos agrupar os termos com
:
Passo 5
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por
para eliminar a fração:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Isso resulta em:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos fazer a Decomposição em Frações Parciais da expressão de
. Isso envolve quebrar a fração complexa em termos mais simples que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Após a decomposição, obtemos:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace Inversa em cada termo:
Resposta
Exercícios relacionados
Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.