Encontre se
, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função para que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares com termos integrais, que aparecem frequentemente em circuitos elétricos envolvendo indutância (L), resistência ® e capacitância ©.
O que vamos precisar: Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, aplicando a transformação de Laplace para facilitar a resolução, e depois fazer a decomposição em frações parciais para achar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores dados: , e . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação que mistura derivadas e integrais, vamos aplicar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, onde é mais fácil resolver.
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados:
Aqui, é a Transformada de Laplace de e usamos a condição inicial .

Passo 4

Substituindo na equação:
Vamos agrupar os termos com :

Passo 5

Para facilitar, multiplicamos todos os termos por para eliminar a fração:
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Isso resulta em:

Passo 7

Para encontrar , precisamos fazer a Decomposição em Frações Parciais da expressão de . Isso envolve quebrar a fração complexa em termos mais simples que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Após a decomposição, obtemos:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace Inversa em cada termo:

Resposta

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Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.