Calcule a integral indefinida: integral cos x cdot tg(sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de cos x cdot tg(sen x) , dx. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que tg(y) é a mesma coisa que tan(y). Então, podemos reescrever a integral como:
integral cos x cdot tan(sin x) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = sin x. Assim, precisamos encontrar du em termos de dx.
Derivando u em relação a x, temos:
du = cos x , dx
Perfeito! Isso significa que cos x , dx é igual a du. Vamos substituir na integral:
integral cos x cdot tan(sin x) , dx = integral tan(u) , du

Passo 4

Agora, vamos integrar tan(u) , du. Sabemos que a integral de tan(u) é:
integral tan(u) , du = -ln|cos u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por último, vamos voltar à variável original x. Lembrando que fizemos u = sin x, então substituímos de volta:
-ln|cos u| + C = -ln|cos(sin x)| + C

Resposta

A integral indefinida é:
-ln|cos(sin x)| + C

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