Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é a mesma coisa que . Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Assim, precisamos encontrar em termos de .
Derivando em relação a , temos:
Perfeito! Isso significa que é igual a . Vamos substituir na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar . Sabemos que a integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Por último, vamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos , então substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é:

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Encontre , sabendo que e condições iniciais nulas.
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.
Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule: