Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a convolução entre as funções
e
. Isso está relacionado ao estudo de convolução de funções, que é uma ferramenta importante em cálculo e em áreas como processamento de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como usar transformadas de Laplace para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
entre
e
é definida por:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira que é muito útil para resolver sistemas lineares e invariante no tempo.
Passo 3
Calcular diretamente essa integral pode ser um pouco complicado, então vamos utilizar a transformada de Laplace, que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a multiplicação das transformadas em vez de calcular a convolução diretamente.
A propriedade chave que vamos usar é:
Depois de encontrar a transformada de Laplace do resultado, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter a convolução no domínio do tempo.
Passo 4
Vamos encontrar as transformadas de Laplace das funções
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, multiplicamos as duas transformadas de Laplace:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da expressão acima. Vamos fazer isso utilizando frações parciais.
Primeiro, decompomos:
Resolvendo para
,
,
, e
, encontramos os coeficientes e, finalmente, aplicamos a transformada inversa para obter:
Resposta
A convolução
é dada por: