Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule: t e^(-t) * cos(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a convolução entre as funções e . Isso está relacionado ao estudo de convolução de funções, que é uma ferramenta importante em cálculo e em áreas como processamento de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como usar transformadas de Laplace para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução entre e é definida por:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira que é muito útil para resolver sistemas lineares e invariante no tempo.

Passo 3

Calcular diretamente essa integral pode ser um pouco complicado, então vamos utilizar a transformada de Laplace, que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a multiplicação das transformadas em vez de calcular a convolução diretamente.
A propriedade chave que vamos usar é:
Depois de encontrar a transformada de Laplace do resultado, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter a convolução no domínio do tempo.

Passo 4

Vamos encontrar as transformadas de Laplace das funções e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, multiplicamos as duas transformadas de Laplace:

Passo 6

Para encontrar , precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da expressão acima. Vamos fazer isso utilizando frações parciais.
Primeiro, decompomos:
Resolvendo para , , , e , encontramos os coeficientes e, finalmente, aplicamos a transformada inversa para obter:

Resposta

A convolução é dada por:

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