A resposta dinâmica de um sistema massa-mola-amortecedor para um impulso unitário em t = 0 é dada por:
m * d2x/dt2 + b * dx/dt + k * x = delta(t), x(0) = 0, dx/dt(0) = 0
Encontre x = x(t), sabendo que m=1, b=2, k=1 e condições iniciais nulas.

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial que descreve a resposta de um sistema massa-mola-amortecedor a um impulso unitário. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais lineares com condições iniciais, utilizando transformadas de Laplace. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace da função δ(t) é 1.

Passo 3

Substituindo os valores de m, b e k, e considerando as condições iniciais x(0)=0 e x’(0)=0, temos:
Simplificando:

Passo 4

Fatorando X(s):
Então,

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador:
Portanto,

Passo 6

Aplicando a transformada inversa de Laplace, sabemos que:
Aqui, a = 1, então:

Resposta

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