Calcule a integral indefinida: integral sen(omega t+theta) d t

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de sin(omega t + theta) em relação a t. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Vamos precisar usar as regras de integração para funções do tipo seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de sin(u) em relação a u é -cos(u) + C, onde C é a constante de integração. Ou seja:
integral sin(u) , du = -cos(u) + C

Passo 3

No nosso caso, a gente não está integrando apenas sin(t), mas sim sin(omega t + theta). Aqui, omega e theta são constantes. Isso significa que a função dentro do seno está sendo multiplicada por omega e tem um termo constante theta.

Passo 4

Para lidar com isso, vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável u igual a omega t + theta. Assim:
u = omega t + theta

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a t para achar du:
dudt = omega Rightarrow du = omega , dt
Isso significa que dt = duomega.

Passo 6

Substituindo u e dt na integral original, temos:
integral sin(omega t + theta) , dt = integral sin(u) cdot duomega = 1omega integral sin(u) , du
Agora, aplicamos a integral de sin(u) que vimos no Passo 2:
1omega (-cos(u)) + C = -1omega cos(u) + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original t substituindo u por omega t + theta:
-1omega cos(omega t + theta) + C

Resposta

integral sin(omega t + theta) , dt = -1omega cos(omega t + theta) + C

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