Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de
sem usar a transformada inversa. A função dada é
. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e, especialmente, o Teorema do Valor Final para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Final da transformada de Laplace. Esse teorema nos diz que:
Isso é super útil porque evita a necessidade de encontrar a transformada inversa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Final à nossa função
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, analisando o comportamento quando
se aproxima de 0:
- O numerador
tende a 0. - No denominador,
e também tendem a 0, deixando apenas .
Passo 5
Portanto, o limite fica:
Resposta
O valor de
é 0.
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Obtenha a transformada inversa utilizando convolução: