Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de f(infty)=lim t infty f(t). Caso não seja possível, justifique. F(s)=s(s^2+a^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de sem usar a transformada inversa. A função dada é . Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e, especialmente, o Teorema do Valor Final para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Final da transformada de Laplace. Esse teorema nos diz que:
limt infty f(t) = lims 0 s cdot F(s)
Isso é super útil porque evita a necessidade de encontrar a transformada inversa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Final à nossa função f(infty) = lims 0 s cdot s(s^2+a^2)^2 = lims 0 s^2(s^2+a^2)^2 . Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
s^2(s^2+a^2)^2 = s^2s^4 + 2a^2s^2 + a^4
Agora, analisando o comportamento quando se aproxima de 0:
  • O numerador tende a 0.
  • No denominador, e também tendem a 0, deixando apenas .

Passo 5

Portanto, o limite fica:
f(infty) = lims 0 s^2a^4 = 0a^4 = 0

Resposta

O valor de é 0.

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