Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Observamos que temos
. Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Para integrar
, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a reduzir a potência do cosseno. Sabemos que:
Passo 6
Fazemos uma nova substituição para simplificar a integral. Definimos:
Passo 7
Substituímos
e
na integral:
Passo 8
Expandimos
:
Então, a integral torna-se:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 10
Substituímos os resultados na expressão:
Passo 11
Revertendo as substituições feitas anteriormente:
Então:
Resposta
A integral indefinida é:
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Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.
Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e
. Resolva-a para (a)
, (b)
e ©
. Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando
?
Calcule a integral indefinida: