Calcule a integral indefinida: integral cos ^5(3-3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral cos^5(3 - 3x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Observamos que temos cos^5(3 - 3x). Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
u = 3 - 3x

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -3 Rightarrow dx = -du3

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral cos^5(3 - 3x) , dx = integral cos^5(u) (-du3) = -13 integral cos^5(u) , du

Passo 5

Para integrar cos^5(u), usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a reduzir a potência do cosseno. Sabemos que:
cos^5(u) = cos^4(u) cdot cos(u) = (1 - sin^2(u))^2 cdot cos(u)

Passo 6

Fazemos uma nova substituição para simplificar a integral. Definimos:
t = sin(u) Rightarrow dt = cos(u) , du

Passo 7

Substituímos t e dt na integral:
-13 integral (1 - t^2)^2 , dt

Passo 8

Expandimos (1 - t^2)^2:
(1 - t^2)^2 = 1 - 2t^2 + t^4
Então, a integral torna-se:
-13 integral (1 - 2t^2 + t^4) , dt = -13 ( integral 1 , dt - 2 integral t^2 , dt + integral t^4 , dt )

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:
integral 1 , dt = t
integral t^2 , dt = t^33
integral t^4 , dt = t^55

Passo 10

Substituímos os resultados na expressão:
-13 ( t - 23 t^3 + 15 t^5 ) + C

Passo 11

Revertendo as substituições feitas anteriormente:
t = sin(u) e u = 3 - 3x
Então:
-13 ( sin(3 - 3x) - 23 sin^3(3 - 3x) + 15 sin^5(3 - 3x) ) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos^5(3 - 3x) , dx = -13 ( sin(3 - 3x) - 23 sin^3(3 - 3x) + 15 sin^5(3 - 3x) ) + C

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