Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Observamos que temos . Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Para integrar , usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a reduzir a potência do cosseno. Sabemos que:

Passo 6

Fazemos uma nova substituição para simplificar a integral. Definimos:

Passo 7

Substituímos e na integral:

Passo 8

Expandimos :
Então, a integral torna-se:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 10

Substituímos os resultados na expressão:

Passo 11

Revertendo as substituições feitas anteriormente:
Então:

Resposta

A integral indefinida é:

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