Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar o valor de sem usar a transformada inversa. Estamos lidando com a Transformada de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace. Esse teorema nos ajuda a encontrar o limite quando tende ao infinito diretamente a partir da transformada .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Valor Final, que diz:
Isso significa que, para encontrar , basta calcular o limite de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema na nossa função :
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende a zero:
Substituindo na expressão:
  • No numerador:
  • No denominador: (porque todos os termos com vão a zero)
Então, o limite fica:

Passo 5

Antes de concluir, é importante verificar se as condições do Teorema do Valor Final são atendidas. Isso envolve conferir se todos os pólos de têm partes reais negativas ou se não há pólos repetidos na origem. Como o denominador não tem termos que possam causar pólos na origem ou no semiplano direito, podemos aplicar o teorema com segurança.

Resposta

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Calcule a integral indefinida:
Encontre se
, e .
Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:
Calcule a integral indefinida: