Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar a transformada inversa de usando a técnica de convolução. Para isso, vamos utilizar conceitos da Transformada de Laplace e a propriedade de convolução que conecta o domínio de com o domínio do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em duas partes mais simples que possamos transformar inversamente separadamente. Podemos reescrever como:
Aqui, temos duas funções:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de e individualmente.
Para , sabemos que a transformada inversa é:
onde é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para e 1 para .

Passo 4

Para , precisamos completar o quadrado no denominador para facilitar a transformação inversa. Vamos reescrever da seguinte forma:
Isso nos ajuda a identificar uma expressão que se assemelha a uma transformada conhecida.

Passo 5

Com a forma completada, a transformada inversa de é:
Isso vem da propriedade de que:

Passo 6

Agora, usando a propriedade de convolução, sabemos que a transformada inversa de será a convolução de e :
Substituindo e :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou consultar uma tabela de integrais. A integral resulta em:
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

A transformada inversa de usando convolução é:

Exercícios relacionados

Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . Resolva-a para (a) , (b) e © . Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando ?