Obtenha a transformada inversa utilizando convolução:
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar a transformada inversa de
usando a técnica de convolução. Para isso, vamos utilizar conceitos da Transformada de Laplace e a propriedade de convolução que conecta o domínio de
com o domínio do tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em duas partes mais simples que possamos transformar inversamente separadamente. Podemos reescrever
como:
Aqui, temos duas funções:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
individualmente.
Para
, sabemos que a transformada inversa é:
onde
é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para
e 1 para
.
Passo 4
Para
, precisamos completar o quadrado no denominador para facilitar a transformação inversa. Vamos reescrever
da seguinte forma:
Isso nos ajuda a identificar uma expressão que se assemelha a uma transformada conhecida.
Passo 5
Com a forma completada, a transformada inversa de
é:
Isso vem da propriedade de que:
Passo 6
Agora, usando a propriedade de convolução, sabemos que a transformada inversa de
será a convolução de
e
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou consultar uma tabela de integrais. A integral resulta em:
Aplicando os limites de 0 a
:
Resposta
A transformada inversa de
usando convolução é:
Exercícios relacionados
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e
. Resolva-a para (a)
, (b)
e ©
. Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando
?