Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e
. Resolva-a para (a)
, (b)
e ©
. Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando
?
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo,
é a primeira derivada,
é a frequência natural do sistema,
é o coeficiente de amortecimento,
é a amplitude da força externa, e
é a frequência da força externa. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar métodos de solução para diferentes casos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos de amortecimento e uma força externa senoidal. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da força externa) e uma solução particular.
Passo 3
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
A solução dessa equação depende do valor de
:
- Subamortecido (
) - Criticamente amortecido (
) - Superamortecido (
)
Passo 4
(a)
(Subamortecido)
Para o caso subamortecido, as soluções da equação homogênea são oscilatórias com uma amplitude que decai exponencialmente. A solução geral é:
onde
é a frequência amortecida, e
,
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é
, assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo
na equação original e resolvendo para
e
, encontramos a solução particular.
Passo 6
A solução geral para o caso subamortecido é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Com as constantes
e
ajustadas para satisfazer as condições iniciais nulas.
Passo 7
Comportamento no tempo:
No caso subamortecido (
), a resposta do sistema oscila com a frequência
, e a amplitude das oscilações diminui exponencialmente devido ao amortecimento. Isso significa que, ao longo do tempo, o sistema oscila menos e eventualmente se estabiliza.
Passo 8
(b)
(Criticamente Amortecido)
Quando
, o sistema é criticamente amortecido. A solução homogênea neste caso não oscila, mas retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar:
Passo 9
Novamente, encontramos a solução particular assumindo a forma
e substituindo na equação original para resolver
e
.
Passo 10
A solução geral no caso criticamente amortecido é:
Com constantes ajustadas pelas condições iniciais.
Passo 11
Comportamento no tempo:
Para
, a resposta do sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações. A presença do termo
indica que o retorno ao equilíbrio é tão rápido quanto possível sem ultrapassar o ponto de equilíbrio.
Passo 12
©
(Superamortecido)
No caso superamortecido, a solução homogênea também não oscila, mas retorna ao equilíbrio mais lentamente comparado ao caso criticamente amortecido:
onde
e
são raízes reais e distintas dadas por:
Passo 13
Encontramos a solução particular assumindo a mesma forma usada anteriormente e resolvendo para
e
.
Passo 14
A solução geral para o caso superamortecido é:
Com constantes ajustadas pelas condições iniciais.
Passo 15
Comportamento no tempo:
Para
, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta do que no caso criticamente amortecido. A presença de duas expoentes negativos diferentes faz com que a resposta seja uma combinação de dois termos decrescentes.
Passo 16
(d) Quando
Quando a frequência da força externa
é igual à frequência natural
, ocorre ressonância. Neste caso, a amplitude da resposta particular aumenta sem limite à medida que o tempo avança, indicando que o sistema absorve energia da força externa de maneira eficiente, levando a grandes oscilações.
Resposta
Resolvemos a equação diferencial para diferentes valores de
:
(a) Para
, o sistema é subamortecido e a resposta oscila com amplitude decrescente ao longo do tempo.
(b) Para
, o sistema é criticamente amortecido e retorna ao equilíbrio sem oscilações de forma rápida.
© Para
, o sistema é superamortecido e retorna ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta que no caso crítico.
(d) Quando
, ocorre ressonância, resultando em amplitudes de oscilações que crescem indefinidamente com o tempo.
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. Caso não seja possível, justifique.