Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . Resolva-a para (a) , (b) e © . Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando ?

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo, é a primeira derivada, é a frequência natural do sistema, é o coeficiente de amortecimento, é a amplitude da força externa, e é a frequência da força externa. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar métodos de solução para diferentes casos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos de amortecimento e uma força externa senoidal. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da força externa) e uma solução particular.

Passo 3

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
A solução dessa equação depende do valor de :
  • Subamortecido ( )
  • Criticamente amortecido ( )
  • Superamortecido ( )

Passo 4

(a) (Subamortecido)

Para o caso subamortecido, as soluções da equação homogênea são oscilatórias com uma amplitude que decai exponencialmente. A solução geral é:
onde é a frequência amortecida, e , são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é , assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação original e resolvendo para e , encontramos a solução particular.

Passo 6

A solução geral para o caso subamortecido é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Com as constantes e ajustadas para satisfazer as condições iniciais nulas.

Passo 7

Comportamento no tempo:
No caso subamortecido ( ), a resposta do sistema oscila com a frequência , e a amplitude das oscilações diminui exponencialmente devido ao amortecimento. Isso significa que, ao longo do tempo, o sistema oscila menos e eventualmente se estabiliza.

Passo 8

(b) (Criticamente Amortecido)

Quando , o sistema é criticamente amortecido. A solução homogênea neste caso não oscila, mas retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar:

Passo 9

Novamente, encontramos a solução particular assumindo a forma e substituindo na equação original para resolver e .

Passo 10

A solução geral no caso criticamente amortecido é:
Com constantes ajustadas pelas condições iniciais.

Passo 11

Comportamento no tempo:
Para , a resposta do sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações. A presença do termo indica que o retorno ao equilíbrio é tão rápido quanto possível sem ultrapassar o ponto de equilíbrio.

Passo 12

© (Superamortecido)

No caso superamortecido, a solução homogênea também não oscila, mas retorna ao equilíbrio mais lentamente comparado ao caso criticamente amortecido:
onde e são raízes reais e distintas dadas por:

Passo 13

Encontramos a solução particular assumindo a mesma forma usada anteriormente e resolvendo para e .

Passo 14

A solução geral para o caso superamortecido é:
Com constantes ajustadas pelas condições iniciais.

Passo 15

Comportamento no tempo:
Para , o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta do que no caso criticamente amortecido. A presença de duas expoentes negativos diferentes faz com que a resposta seja uma combinação de dois termos decrescentes.

Passo 16

(d) Quando

Quando a frequência da força externa é igual à frequência natural , ocorre ressonância. Neste caso, a amplitude da resposta particular aumenta sem limite à medida que o tempo avança, indicando que o sistema absorve energia da força externa de maneira eficiente, levando a grandes oscilações.

Resposta

Resolvemos a equação diferencial para diferentes valores de :
(a) Para , o sistema é subamortecido e a resposta oscila com amplitude decrescente ao longo do tempo.
(b) Para , o sistema é criticamente amortecido e retorna ao equilíbrio sem oscilações de forma rápida.
© Para , o sistema é superamortecido e retorna ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta que no caso crítico.
(d) Quando , ocorre ressonância, resultando em amplitudes de oscilações que crescem indefinidamente com o tempo.

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