Calcule a integral indefinida: integral e^2 x cos ^2(e^2 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral e^2 x cos^2(e^2 x-1) dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma exponencial e o quadrado do cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^2x - 1
Isso ajuda a transformar a parte complicada da função em algo mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2e^2x em relação a dx = du2e^2x para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral e^2x cos^2(e^2x - 1) dx = integral e^2x cos^2(u) cdot du2e^2x = 12 integral cos^2(u) du e na integral original:
Observe que se cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2(u) = 1 + cos(2u)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
12 integral 1 + cos(2u)2 du = 14 integral (1 + cos(2u)) du
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
14 integral 1 , du + 14 integral cos(2u) , du = 14 u + 18 sin(2u) + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos 14(e^2x - 1) + 18 sin(2(e^2x - 1)) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^2 x cos^2(e^2 x-1) dx = 14(e^2x - 1) + 18 sin(2(e^2x - 1)) + C

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