Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma exponencial e o quadrado do cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso ajuda a transformar a parte complicada da função em algo mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Observe que se cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . Resolva-a para (a) , (b) e © . Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando ?
Calcule a integral indefinida:
Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.
Calcule a integral indefinida: