Calcule a integral indefinida: integral -3 cos ^2 xsen^4 x d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de uma função trigonométrica:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Substituindo isso na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
cos^2 x = 1 - sen^2 x

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembramos que:
integral csc^2 x , dx = -cot x + C
Para integrar integral csc^4 x , dx = integral csc^2 x cdot csc^2 x , dx , podemos reescrever de forma a facilitar a integração:
integral csc^4 x , dx = -cot x - cot^3 x3 + C
Sabemos também que:

Passo 4

Agora, aplicamos essas integrais na nossa expressão original:
-3 ( integral csc^4 x , dx - integral csc^2 x , dx ) = -3 ( -cot x - cot^3 x3 + C - (-cot x + C) )
Simplificando os termos:
-3 ( -cot^3 x3 ) = cot^3 x + C

Resposta

A integral indefinida é:
cot^3 x + C

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