Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4) .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos curvas definidas por equações paramétricas, onde e são expressos em função de um parâmetro . Precisamos esboçar os gráficos dessas curvas e eliminar para encontrar as equações na forma cartesiana, ou seja, relacionando e diretamente. Vamos resolver cada uma das partes: (19.1) a (19.4).

Passo 2

Exercício 19.1

Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
  1. A partir da primeira equação, podemos expressar em função de :
  2. Substituímos na segunda equação:
Resposta:
A equação cartesiana é .

Passo 3

Exercício 19.2

Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
  1. A partir da segunda equação, expressamos em função de :
  2. Precisamos expressar em função de . A primeira equação é Não é fácil isolar diretamente, então utilizamos a relação .
  3. Rearranjando a primeira equação para termos uma equação em termos de :
  4. Substituímos na equação:
  5. Simplificando:
  6. Se , dividimos ambos os lados por : Porém, ainda há na equação. Aqui, percebemos que a eliminação direta de é complexa e pode requerer métodos avançados ou aproximações. Portanto, a equação cartesiana não é facilmente obtida de forma explícita.
Resposta:
A equação cartesiana não pode ser expressa de forma simples usando métodos elementares devido à complexidade na eliminação de .

Passo 4

Exercício 19.3

Dadas as equações param��tricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
  1. A partir da primeira equação, expressamos em função de :
  2. Substituímos na segunda equação:
Resposta:
A equação cartesiana é .

Passo 5

Exercício 19.4

Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
  1. A partir da segunda equação, temos:
  2. Substituímos na primeira equação:
Resposta:
A equação cartesiana é .

Resposta

As equações cartesianas são:
  1. 19.1:
  2. 19.2: Não pode ser expressa de forma simples
  3. 19.3:
  4. 19.4:

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