Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4) .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos curvas definidas por equações paramétricas, onde e são expressos em função de um parâmetro . Precisamos esboçar os gráficos dessas curvas e eliminar para encontrar as equações na forma cartesiana, ou seja, relacionando e diretamente. Vamos resolver cada uma das partes: (19.1) a (19.4).
Passo 2
Exercício 19.1
Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
A partir da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituímos na segunda equação:
Resposta:
A equação cartesiana é .
Passo 3
Exercício 19.2
Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
A partir da segunda equação, expressamos em função de :
Precisamos expressar em função de . A primeira equação éNão é fácil isolar diretamente, então utilizamos a relação .
Rearranjando a primeira equação para termos uma equação em termos de :
Substituímos na equação:
Simplificando:
Se , dividimos ambos os lados por :Porém, ainda há na equação. Aqui, percebemos que a eliminação direta de é complexa e pode requerer métodos avançados ou aproximações. Portanto, a equação cartesiana não é facilmente obtida de forma explícita.
Resposta:
A equação cartesiana não pode ser expressa de forma simples usando métodos elementares devido à complexidade na eliminação de .
Passo 4
Exercício 19.3
Dadas as equações param��tricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.
Resolução:
A partir da primeira equação, expressamos em função de :
Substituímos na segunda equação:
Resposta:
A equação cartesiana é .
Passo 5
Exercício 19.4
Dadas as equações paramétricas:
Objetivo: Eliminar para achar a equação cartesiana.