Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.1) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta .

Passo 1

Vamos resolver o primeiro item, que pede para determinar as coordenadas do centro de gravidade da região no primeiro quadrante delimitada pela elipse , com e . Para isso, vamos usar o conceito de centroide de uma área, que envolve calcular as coordenadas e por meio de integrais duplas sobre a região.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a área da região. A equação da elipse nos dá:
Como estamos no primeiro quadrante, os limites para são de 0 a . Portanto, a área é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de gravidade. As fórmulas são:

Passo 4

Primeiro, calculamos a área :
Fazendo a substituição , , os limites de integração vão de a :
Agora, calculamos :
Substituindo :
E para :

Passo 5

Agora, vamos resolver o segundo item, que solicita determinar as coordenadas do centro de gravidade da área delimitada pela curva e o eixo . Para isso, novamente utilizaremos as fórmulas do centroide que envolvem integrais sobre a região.

Passo 6

Primeiro, identificamos os limites de integração. A curva intercepta o eixo quando :
Como estamos considerando apenas a região delimitada pela curva e pelo eixo , os limites para são de a , mas pela simetria da função, podemos integrar de 0 a 4 e multiplicar por 2.
A área é:

Passo 7

Calculando a área :
Agora, calculamos . Pela simetria em relação ao eixo , sabemos que .
Para :
Simplificando:

Passo 8

Expandiando o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando:
Convertendo para denominador comum:
Somando:
Portanto,

Passo 9

Por último, vamos resolver o terceiro item, que solicita determinar as coordenadas do centro de gravidade da área delimitada pela parábola e pela reta . Novamente, utilizaremos as fórmulas do centroide que envolvem integrais sobre a região.

Passo 10

Primeiro, identificamos os limites de integração. A parábola intersecta a reta quando . Portanto, os limites para são de a , e para , de a .
A área é:
Mas a região está delimitada pela parábola e pela reta , então precisamos considerar a integral:

Passo 11

Agora, calculamos e .
Para :
A integral de de a é:
Portanto,
Para :
Pela simetria em relação ao eixo , temos .

Passo 12

Portanto, as coordenadas estão determinadas.

Resposta

As coordenadas do centro de gravidade são .

Exercícios relacionados

Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
(15.1) Esboce e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de .
(15.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.
Calcule a integral indefinida:
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.