Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma função vetorial: , onde
varia de
a
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções vetoriais e gráficos paramétricos. Precisamos entender como essa função desenha uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as componentes da função. Temos:
Isso significa que enquanto
varia, o ponto
se move no plano.
Passo 3
Observando as equações, percebemos que tanto o
quanto o
têm termos trigonométricos com amplitude 2. Isso sugere que estamos lidando com um círculo ou uma elipse.
Passo 4
Vamos reescrever as equações para identificar a forma geométrica:
Podemos rearranjar para:
Passo 5
Sabemos que . Substituindo as expressões acima:
Isso é a equação geral de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 6
Então, ao variar
de
a
, a função vetorial
gera todos os pontos desse círculo completo.
Resposta
A curva associada à função vetorial , para
, é um círculo com centro em (-3, 5) e raio 2.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida:
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.1) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta
.
(14.1) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse
(14.2) Área delimitada pela curva
(14.3) Área delimitada pela parábola
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4) .
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4)
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.