Calcule a integral indefinida.
integral cossec(u) cotg(u) d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das funções e e como elas se relacionam na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que integral cosec(u) cot(u) , du = integral 1sin(u) cdot cos(u)sin(u) , du = integral cos(u)sin^2(u) , du e é . Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dvdu = cos(u) Rightarrow dv = cos(u) , du . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral cos(u)sin^2(u) , du = integral dvv^2 e na integral, temos:

Passo 5

A integral integral v^-2 , dv = v^-1-1 + C = -1v + C é equivalente a . Sabemos que a integral de é , desde que . Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta -1v + C = -1sin(u) + C = -cosec(u) + C :

Resposta

A integral indefinida é:

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