Calcule a integral indefinida.
integral 2 x(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral indefinida de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Isso significa multiplicar os termos dentro dos parênteses:
2x(x + 1) = 2x cdot x + 2x cdot 1 = 2x^2 + 2x
Então, a integral fica:
integral 2x^2 + 2x , dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes. Isso é possível porque a integral da soma é a soma das integrais:
integral 2x^2 , dx + integral 2x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte individualmente. Para isso, usamos a regra de potenciação na integração, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde e é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra de potenciação na primeira integral:
integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^2+12+1 = 2 cdot x^33 = 23x^3

Passo 6

Agora, resolvendo a segunda integral:
integral 2x , dx = 2 cdot x^1+11+1 = 2 cdot x^22 = x^2

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes e adicionamos a constante de integração 23x^3 + x^2 + C :

Resposta

A integral indefinida de 23x^3 + x^2 + C é:

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