Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Neste exercício, vamos utilizar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo funções compostas. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão dentro da raiz quadrada, temos . Vamos definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir . Derivando :
Isso nos permitirá reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Agora, a integral está mais simples e em termos de .

Passo 5

A integral pode ser resolvida aplicando a regra de potência para integrais. Lembrando que:
onde é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcule a integral indefinida.