Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Neste exercício, vamos utilizar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo funções compostas. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão dentro da raiz quadrada, temos
. Vamos definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando
:
Isso nos permitirá reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral está mais simples e em termos de
.
Passo 5
A integral
pode ser resolvida aplicando a regra de potência para integrais. Lembrando que:
onde
é a constante de integração. No nosso caso,
, então:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Calcule a integral indefinida.