Calcule a integral indefinida.
integral 5 raiz6 t+4 d t

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral 5 raiz6 t +4 , dt. Neste exercício, vamos utilizar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo funções compostas. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão dentro da raiz quadrada, temos 6t + 4. Vamos definir:
u = 6t + 4
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a t para substituir dt. Derivando u:
dudt = 6 implies du = 6 , dt implies dt = du6
Isso nos permitirá reescrever a integral em termos de u.

Passo 4

Vamos substituir u e dt na integral original:
integral 5 raiz6 t +4 , dt = integral 5 raizu cdot du6 = 56 integral raizu , du
Agora, a integral está mais simples e em termos de u.

Passo 5

A integral integral raizu , du pode ser resolvida aplicando a regra de potência para integrais. Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. No nosso caso, n = 12, então:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
56 integral raizu , du = 56 cdot ( 23 u^3/2 ) + C = 1018 u^3/2 + C = 59 u^3/2 + C
Agora, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de t:
u = 6t + 4 implies u^3/2 = (6t + 4)^3/2

Resposta

A integral integral 5 raiz6 t +4 , dt é igual a:
59 (6t + 4)^3/2 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados