Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com potências de funções trigonométricas, especificamente com seno elevado à quarta potência multiplicado por cosseno de três vezes o ângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que podemos escrever
usando a identidade trigonométrica:
Então,
é
:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original:
Podemos fatorar o
para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Segunda integral:
Usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso:
Integrando:
Passo 7
Terceira integral:
Primeiro, usamos a identidade para
:
Aplicando isso:
Resolvendo cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Usamos novamente a identidade do produto de cossenos:
Então:
Integrando:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos:
Combinando os coeficientes:
Isso resulta em:
Resposta
A integral
é igual a:
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Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes:
.
Resolver as seguintes integrais definidas:
g)
g)