Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas: integral sen^4(z) cos (3 z) d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com potências de funções trigonométricas, especificamente com seno elevado à quarta potência multiplicado por cosseno de três vezes o ângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2(z) = 1 - cos(2z)2 . Sabemos que podemos escrever sin^4(z) = (1 - cos(2z)2)^2 = 1 - 2cos(2z) + cos^2(2z)4 usando a identidade trigonométrica:
Então, é :

Passo 3

Agora, substituímos integral sin^4(z) cos(3z) , dz = integral 1 - 2cos(2z) + cos^2(2z)4 cos(3z) , dz na integral original:
14 integral (1 - 2cos(2z) + cos^2(2z)) cos(3z) , dz
Podemos fatorar o para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos distribuir o 14 ( integral cos(3z) , dz - 2 integral cos(2z) cos(3z) , dz + integral cos^2(2z) cos(3z) , dz ) dentro dos parênteses:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral cos(3z) , dz = sin(3z)3 + C
A integral de é , então:

Passo 6

Segunda integral: cos(A)cos(B) = cos(A - B) + cos(A + B)2
Usamos a identidade do produto de cossenos:
-2 integral cos(2z) cos(3z) , dz = -2 integral cos(z) + cos(5z)2 , dz = - integral (cos(z) + cos(5z)) , dz
Aplicando isso:
- ( sin(z)1 + sin(5z)5 ) + C = -sin(z) - sin(5z)5 + C
Integrando:

Passo 7

Terceira integral: cos^2(A) = 1 + cos(2A)2
Primeiro, usamos a identidade para integral cos^2(2z) cos(3z) , dz = integral 1 + cos(4z)2 cos(3z) , dz = 12 integral cos(3z) , dz + 12 integral cos(4z) cos(3z) , dz :
12 integral cos(3z) , dz = 12 cdot sin(3z)3 = sin(3z)6
Aplicando isso:
cos(4z)cos(3z) = cos(z) + cos(7z)2
Resolvendo cada parte:
Primeira parte:
12 integral cos(4z)cos(3z) , dz = 12 integral cos(z) + cos(7z)2 , dz = 14 ( integral cos(z) , dz + integral cos(7z) , dz )
Segunda parte:
Usamos novamente a identidade do produto de cossenos:
14 ( sin(z) + sin(7z)7 ) + C
Então:
Integrando:

Passo 8

Agora, juntando tudo:
14 ( sin(3z)3 - sin(z) - sin(5z)5 + sin(3z)6 + sin(z)4 + sin(7z)28 ) + C
Simplificando os termos:
14 ( sin(3z)3 + sin(3z)6 - sin(z) + sin(z)4 - sin(5z)5 + sin(7z)28 ) + C
Combinando os coeficientes:
14 ( 2sin(3z)6 + sin(3z)6 - 4sin(z)4 + sin(z)4 - sin(5z)5 + sin(7z)28 ) + C
Isso resulta em:
14 ( sin(3z)2 - 3sin(z)4 - sin(5z)5 + sin(7z)28 ) + C

Resposta

A integral sin(3z)8 - 3sin(z)16 - sin(5z)20 + sin(7z)112 + C é igual a:

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