Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com potências de funções trigonométricas, especificamente com seno elevado à quarta potência multiplicado por cosseno de três vezes o ângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que podemos escrever usando a identidade trigonométrica:
Então, é :

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
Podemos fatorar o para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos distribuir o dentro dos parênteses:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
A integral de é , então:

Passo 6

Segunda integral:
Usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso:
Integrando:

Passo 7

Terceira integral:
Primeiro, usamos a identidade para :
Aplicando isso:
Resolvendo cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Usamos novamente a identidade do produto de cossenos:
Então:
Integrando:

Passo 8

Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos:
Combinando os coeficientes:
Isso resulta em:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule a integral indefinida:


Calcule a integral indefinida:
Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: .
Resolver as seguintes integrais definidas:
g)