Calcule a integral indefinida.
integral sec ^2 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral indefinida de . Estamos trabalhando com integração, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a integral da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral sec^2 u , du = tan u + C em relação a é , onde é a constante de integração. Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da função secante é u = 2theta , então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar:
dudtheta = 2 Rightarrow dtheta = du2
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral sec^2 2theta , dtheta = integral sec^2 u cdot du2 = 12 integral sec^2 u , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, aplicando a integral que conhecemos:
12 integral sec^2 u , du = 12 (tan u) + C
E substituindo 12 tan 2theta + C de volta, temos:

Resposta

A integral indefinida de 12 tan 2theta + C é:

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