Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por uma integral:
y = integral0^x^4 cos^2 theta ,dtheta
A tarefa é encontrar a derivada dessa função em relação a usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, se temos uma função definida por uma integral com limite superior que depende de y = integrala^u(x) f(theta) ,dtheta , a derivada dessa função em relação a dydx = f(u(x)) cdot u'(x) é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada desse limite.
Matematicamente, se:
Então, a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos calcular f(u(x)) = cos^2(x^4) :
u'(x) = ddx x^4 = 4x^3
Agora, precisamos da derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do teorema, juntamos tudo:
dydx = cos^2(x^4) cdot 4x^3
Isso é tudo! A derivada da função dada é essa combinação.

Resposta

dydx = 4x^3 cos^2(x^4)

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