Calcule a integral indefinida: integral sec (x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de sec(x+1) em relação a x. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente a função secante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de sec(u) em relação a u é conhecida. A fórmula é:
integral sec(u) , du = ln |sec(u) + tan(u)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, temos sec(x+1). Para aplicar a fórmula, vamos fazer uma substituição onde u = x + 1. Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = dx

Passo 4

Com essa substituição, a integral original fica:
integral sec(x+1) , dx = integral sec(u) , du
Agora, podemos usar a fórmula que vimos no Passo 2.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral da secante:
integral sec(u) , du = ln |sec(u) + tan(u)| + C
Substituindo u de volta por x + 1, temos:
ln |sec(x+1) + tan(x+1)| + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sec(x+1) , dx = ln |sec(x+1) + tan(x+1)| + C

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