Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de . Caso não seja possível, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o valor de sem usar a transformada inversa. O enunciado nos dá a função . Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Final da transformada de Laplace, que nos ajuda a encontrar limites de funções no tempo a partir de suas transformadas no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Final. Esse teorema diz que, se todas as raízes (pólos) de estiverem no semiplano esquerdo (ou seja, com partes reais negativas), então:
Isso significa que podemos encontrar calculando o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos aplicar o teorema. Precisamos garantir que todos os pólos de estejam no semiplano esquerdo. Vamos encontrar os pólos de :
Os pólos são as raízes do denominador:
Como é negativo (assumindo que ), todos os pólos têm parte real negativa. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Final.

Passo 4

Vamos calcular :
Substituindo :

Resposta

Portanto, .

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Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . Resolva-a para (a) , (b) e © . Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando ?
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Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: