Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de f(infty)=lim t infty f(t). Caso não seja possível, justifique. F(s)=s+b(s+b)^2+a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o valor de sem usar a transformada inversa. O enunciado nos dá a função . Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Final da transformada de Laplace, que nos ajuda a encontrar limites de funções no tempo a partir de suas transformadas no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Final. Esse teorema diz que, se todas as raízes (pólos) de limt infty f(t) = lims 0 sF(s) estiverem no semiplano esquerdo (ou seja, com partes reais negativas), então:
Isso significa que podemos encontrar calculando o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos aplicar o teorema. Precisamos garantir que todos os pólos de F(s) = s + b(s + b)^2 + a^2 estejam no semiplano esquerdo. Vamos encontrar os pólos de (s + b)^2 + a^2 = 0 (s + b)^2 = -a^2 s + b = pm j a s = -b pm j a :
Os pólos são as raízes do denominador:
Como é negativo (assumindo que ), todos os pólos têm parte real negativa. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Final.

Passo 4

Vamos calcular sF(s) = s cdot s + b(s + b)^2 + a^2 :
sF(s) = 0 cdot 0 + b(0 + b)^2 + a^2 = 0
Substituindo :

Resposta

Portanto, .

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