Obtenha, sem utilizar a transformada inversa, o valor de
. Caso não seja possível, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o valor de
sem usar a transformada inversa. O enunciado nos dá a função
. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Final da transformada de Laplace, que nos ajuda a encontrar limites de funções no tempo a partir de suas transformadas no domínio de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Final. Esse teorema diz que, se todas as raízes (pólos) de
estiverem no semiplano esquerdo (ou seja, com partes reais negativas), então:
Isso significa que podemos encontrar
calculando o limite de
quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar se podemos aplicar o teorema. Precisamos garantir que todos os pólos de
estejam no semiplano esquerdo. Vamos encontrar os pólos de
:
Os pólos são as raízes do denominador:
Como
é negativo (assumindo que
), todos os pólos têm parte real negativa. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Final.
Passo 4
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto,
.
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Calcule a integral indefinida:
Considere a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e
. Resolva-a para (a)
, (b)
e ©
. Em cada caso, comente sobre o comportamento dessas soluções no tempo. (d) O que acontece quando
?
Calcule a integral indefinida:
Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: