Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução da equação
, que além disso, tem uma condição inicial:
. Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares, que é
.
Começamos dividindo ambos os lados da equação original por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
A integração do lado esquerdo é direta:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Assim:
Passo 6
Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: