Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: dy/dx * tg(x) = a + y, y(pi/3) = a, 0 < x < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução da equação , que além disso, tem uma condição inicial: . Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares, que é .
Começamos dividindo ambos os lados da equação original por tan(x):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
Substituindo P(x):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar y:
A integração do lado esquerdo é direta:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Assim:

Passo 6

Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por sen x para isolar y:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Sabemos que , então:
Resolvendo para C:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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