Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução da equação , que além disso, tem uma condição inicial: . Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares, que é .
Começamos dividindo ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
A integração do lado esquerdo é direta:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Assim:

Passo 6

Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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.