Derivada. As derivadas à esquerda e à direita de em a são definidas respectivamente por
se esses limites existirem. Encontre, usando a definição apresentada, e para a função
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar as derivadas à esquerda e à direita em . Isso envolve usar o conceito de derivadas laterais, que nos mostram a inclinação da função quando nos aproximamos do ponto por valores menores (esquerda) ou maiores (direita).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função usamos quando está próximo de 4 por valores menores e por valores maiores.
Para , a função é:
Para , a função é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada à esquerda, , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores negativos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela esquerda.
Passo 4
Como é negativo, , então usamos .
Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada à direita, , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores positivos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela direita.