Derivada. As derivadas à esquerda e à direita de f em a são definidas respectivamente por
f-^prime(a)=lim h 0^- f(a+h)-f(a)h e f+^prime(a)=lim h 0^+ f(a+h)-f(a)h
se esses limites existirem. Encontre, usando a definição apresentada, f-^prime(4) e f+^prime(4) para a função
f(x)=ll 0, & se x <= 0 5-x, & se 0= 4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar as derivadas à esquerda e à direita em . Isso envolve usar o conceito de derivadas laterais, que nos mostram a inclinação da função quando nos aproximamos do ponto por valores menores (esquerda) ou maiores (direita).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função f(x) = 5 - x usamos quando f(x) = 15 - x está próximo de 4 por valores menores e por valores maiores.
Para , a função é:
Para , a função é:

Passo 3

Vamos calcular a derivada à esquerda, f-^prime(4) = limh to 0^- f(4 + h) - f(4)h , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores negativos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela esquerda.

Passo 4

Como f-^prime(4) = limh to 0^- (5 - (4 + h)) - f(4)h é negativo, f-^prime(4) = limh to 0^- (5 - 4 - h) - 1h = limh to 0^- (1 - h) - 1h = limh to 0^- -hh = limh to 0^- -1 = -1 , então usamos .
Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada à direita, f+^prime(4) = limh to 0^+ f(4 + h) - f(4)h , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores positivos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela direita.

Passo 6

Como f+^prime(4) = limh to 0^+ 15 - (4 + h) - 1h = limh to 0^+ 11 - h - 1h é positivo, 11 - h - 1 = 1 - (1 - h)1 - h = h1 - h , então usamos f+^prime(4) = limh to 0^+ h1 - hh = limh to 0^+ 11 - h = 1 .
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

e .

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