Derivada. As derivadas à esquerda e à direita de em a são definidas respectivamente por
se esses limites existirem. Encontre, usando a definição apresentada, e para a função

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar as derivadas à esquerda e à direita em . Isso envolve usar o conceito de derivadas laterais, que nos mostram a inclinação da função quando nos aproximamos do ponto por valores menores (esquerda) ou maiores (direita).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função usamos quando está próximo de 4 por valores menores e por valores maiores.
Para , a função é:
Para , a função é:

Passo 3

Vamos calcular a derivada à esquerda, , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores negativos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela esquerda.

Passo 4

Como é negativo, , então usamos .
Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada à direita, , usando a definição:
Aqui, tende a zero por valores positivos, ou seja, estamos nos aproximando de 4 pela direita.

Passo 6

Como é positivo, , então usamos .
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

e .

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