Calcule a integral indefinida.
integral sen t sec ^2(cos t) d t

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral sen t sec^2(cos t) , dt. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica útil quando a integral envolve uma função composta. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir u = cos t. Assim, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudt = -sen t Rightarrow du = -sen t , dt Rightarrow -du = sen t , dt
Agora podemos substituir sen t , dt por -du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral sen t sec^2(cos t) , dt = integral sec^2(u) cdot (-du) = -integral sec^2(u) , du
Agora, a integral está em termos de u, o que facilita a resolução.

Passo 5

Sabemos que a integral de sec^2(u) em relação a u é tan(u) + C, onde C é a constante de integração. Portanto:
-integral sec^2(u) , du = -tan(u) + C

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta por cos t:
-tan(u) + C = -tan(cos t) + C

Resposta

A integral indefinida é:
-tan(cos t) + C

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